Konu anlatımı
Basit önermeler bağlaçlarla birleşince bileşik önerme oluşur. Bu alt başlıkta “ve”, “veya” ve “ya da” bağlaçlarının ne zaman doğru, ne zaman yanlış sonuç verdiğini, bu bağlaçların işlem özelliklerini ve verilen sonuçlardan önermelerin değerini geriye doğru bulmayı göreceksin.
Ve bağlacı
p ∧ q önermesi “p ve q” diye okunur ve yalnızca iki önerme de doğruyken doğrudur. “7 asal sayıdır ve 9 tek sayıdır.” doğrudur; “7 asal sayıdır ve 9 çift sayıdır.” yanlıştır, çünkü ikinci parça yanlıştır. Bir ∧ bileşiğinin doğru olduğu biliniyorsa her parçası doğrudur; yanlış olduğu biliniyorsa en az bir parçası yanlıştır ama hangisi olduğu ek bilgi olmadan söylenemez.
Veya ve ya da bağlaçları
p ∨ q önermesi “p veya q” diye okunur ve önermelerden en az biri doğruyken doğrudur; yalnızca ikisi de yanlışken yanlıştır. p ⊻ q önermesi “p ya da q” diye okunur ve önermelerden yalnız biri doğruyken doğrudur; ikisi de doğru ya da ikisi de yanlışsa yanlıştır. “Ya da” bağlacı, iki seçenekten tam olarak birinin gerçekleştiğini anlatır.
Bu kurallar geriye doğru akıl yürütmede çok işe yarar: p ∨ q yanlış verilmişse iki önerme de yanlıştır; p ⊻ q doğru verilmişse iki önerme farklı doğruluk değerindedir; p ⊻ q yanlış verilmişse iki önerme aynı değerdedir.
Bağlaçların özellikleri
Ve ile veya bağlaçları için şu özellikler geçerlidir; hepsi doğruluk tablosuyla doğrulanabilir. Bu özellikler kümelerdeki kesişim ve birleşim özellikleriyle birebir aynıdır: ∧ kesişime, ∨ birleşime karşılık gelir.
- Değişme: p ∧ q ≡ q ∧ p ve p ∨ q ≡ q ∨ p.
- Birleşme: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) ve (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r).
- Dağılma: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ve p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
- Tek kuvvet: p ∧ p ≡ p ve p ∨ p ≡ p.
- Değille: p ∧ p' ≡ 0 ve p ∨ p' ≡ 1.
- 1 ve 0 ile: p ∧ 1 ≡ p, p ∧ 0 ≡ 0, p ∨ 1 ≡ 1 ve p ∨ 0 ≡ p.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. p ∨ q, p ∧ r ve q ⊻ r önermelerinin üçü de doğrudur. Buna göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözüm. p ∧ r doğru olduğundan p = 1 ve r = 1'dir. q ⊻ r doğru olduğundan q ile r farklı değerdedir; r = 1 olduğuna göre q = 0'dır. Son olarak p ∨ q = 1 ∨ 0 = 1 olduğundan üçüncü bilgi de sağlanır. Sonuç: p = 1, q = 0 ve r = 1.
Örnek 2. p ∨ (p' ∧ q) önermesinin en sade biçimi nedir?
Çözüm. Veya bağlacının ve üzerine dağılma özelliğini kullanırız: p ∨ (p' ∧ q) ≡ (p ∨ p') ∧ (p ∨ q). p ∨ p' ≡ 1 olduğundan ifade 1 ∧ (p ∨ q) olur. 1 ile “ve” bağlacı önermeyi değiştirmez; sonuç p ∨ q önermesidir. Kontrol için p = 0, q = 1 satırına bak: iki ifade de 1 verir.
Sık yapılan hatalar
- “Ya da” bağlacını “veya” gibi değerlendirmek; 1 ⊻ 1 yanlıştır.
- p ∨ q doğru verildiğinde iki önermenin de doğru olduğunu sanmak.
- Dağılmayı yanlış uygulamak: p ∧ (q ∨ r) ifadesini (p ∧ q) ∧ (p ∧ r) diye yazmak.
- ∧ yalnızca 1 ∧ 1 iken doğru, ∨ yalnızca 0 ∨ 0 iken yanlıştır.
- ⊻ değerler farklıyken doğru, aynıyken yanlıştır.
- p ∨ p' ≡ 1 ve p ∧ p' ≡ 0.