Konu anlatımı
Bir koşullu önermeden, hipotez ile hükmün yeri değiştirilerek ya da değilleri alınarak üç yeni koşullu önerme kurulabilir. Bu alt başlıkta karşıt, ters ve karşıt ters önermeleri, hangilerinin birbirine denk olduğunu ve bu bilginin akıl yürütmede nasıl kullanıldığını göreceksin.
Üç yeni önerme
p ⇒ q koşullu önermesinden şu üç önerme kurulur. “Bir sayı 4'e bölünüyorsa 2'ye bölünür.” önermesinin karşıtı “Bir sayı 2'ye bölünüyorsa 4'e bölünür.”, tersi “Bir sayı 4'e bölünmüyorsa 2'ye bölünmez.”, karşıt tersi ise “Bir sayı 2'ye bölünmüyorsa 4'e bölünmez.” önermesidir. İlk önerme doğrudur; karşıtı ve tersi yanlıştır, çünkü 6 sayısı 2'ye bölünür ama 4'e bölünmez. Karşıt tersi ise doğrudur.
- Karşıtı: q ⇒ p; hipotez ile hüküm yer değiştirir.
- Tersi: p' ⇒ q'; iki önermenin de değili alınır.
- Karşıt tersi: q' ⇒ p'; hem yer değiştirir hem değiller alınır.
Denklikler
Koşullu önermenin denkliğini biliyorsun: p ⇒ q ≡ p' ∨ q. Karşıt ters için q' ⇒ p' ≡ (q')' ∨ p' ≡ q ∨ p' bulunur; bu da p' ∨ q ile aynıdır. Yani bir koşullu önerme karşıt tersine denktir. Aynı yolla karşıt q ⇒ p ≡ q' ∨ p, ters p' ⇒ q' ≡ p ∨ q' bulunur; bu ikisi de birbirine denktir.
Özetle önerme ile karşıt tersi, karşıt ile tersi aynı doğruluk değerine sahiptir. Önerme ile karşıtı ise genellikle denk değildir: p = 0 ve q = 1 için p ⇒ q doğru, q ⇒ p yanlıştır.
Akıl yürütmede kullanım
Bir önermeyi doğrudan göstermek zor olduğunda karşıt tersini göstermek yeterlidir, çünkü ikisi denktir. “n² çift ise n çifttir.” önermesi için karşıt tersi olan “n tek ise n² tektir.” önermesi gösterilir: n = 2k + 1 ise n² = 4k² + 4k + 1 olur ve bu sayı tektir. Günlük dilde de “Yağmur yağarsa yollar ıslanır.” bilgisinden “Yollar ıslak değilse yağmur yağmamıştır.” sonucu çıkar; ama “Yollar ıslaksa yağmur yağmıştır.” sonucu çıkmaz, çünkü bu karşıttır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. p' ⇒ q önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız. Hangileri p' ⇒ q önermesine denktir?
Çözüm. Karşıtı q ⇒ p', tersi (p')' ⇒ q' yani p ⇒ q', karşıt tersi q' ⇒ (p')' yani q' ⇒ p önermesidir. Önerme karşıt tersine denktir: p' ⇒ q ≡ p ∨ q ve q' ⇒ p ≡ q ∨ p. Karşıt ile ters ise birbirine denktir: ikisi de p' ∨ q' önermesine eşittir. Önermeye denk olan yalnızca karşıt tersidir.
Örnek 2. “Bir üçgen eşkenar ise ikizkenardır.” önermesinin karşıtı, tersi ve karşıt tersi hangi önermelerdir? Hangileri doğrudur?
Çözüm. Karşıtı: “Bir üçgen ikizkenar ise eşkenardır.” Bu yanlıştır; kenarları 5, 5 ve 6 olan üçgen ikizkenardır ama eşkenar değildir. Tersi: “Bir üçgen eşkenar değilse ikizkenar değildir.” Bu da aynı üçgen yüzünden yanlıştır. Karşıt tersi: “Bir üçgen ikizkenar değilse eşkenar değildir.” Bu, doğru olan ilk önermeye denk olduğu için doğrudur.
Sık yapılan hatalar
- Karşıt ile tersi karıştırmak: karşıtta yer değişir, terste değiller alınır.
- Bir önermenin doğru olmasından karşıtının da doğru olduğu sonucunu çıkarmak.
- Karşıt tersi kurarken yalnızca yer değiştirip değilleri almayı unutmak.
- Karşıt q ⇒ p, ters p' ⇒ q', karşıt ters q' ⇒ p' önermesidir.
- p ⇒ q ≡ q' ⇒ p' ve q ⇒ p ≡ p' ⇒ q'.
- Doğru bir önermenin karşıtı yanlış olabilir; karşıt tersi ise her zaman doğrudur.