Konu anlatımı
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığıdır ve |x| ile gösterilir. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer hiçbir zaman negatif değildir: |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0. Bu basit tanım; denklemleri, eşitsizlikleri ve iki nokta arasındaki uzaklığı tek bir dille anlatmanı sağlar.
Bu sayfada önce tanımı ve özellikleri, sonra mutlak değerli ifadeleri sadeleştirmeyi, denklem ve eşitsizlik çözmeyi göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Tanım
Mutlak değer iki durumla tanımlanır: x ≥ 0 ise |x| = x, x < 0 ise |x| = −x. İkinci satırdaki eksi işareti seni yanıltmasın; x negatifken −x pozitiftir. Örneğin x = −3 için |x| = −(−3) = 3.
|a − b| ifadesi a ile b arasındaki uzaklıktır. Örneğin |x − 2| = 5 denklemi “2'ye uzaklığı 5 olan sayılar” demektir ve cevabı x = 7 ile x = −3'tür.
Özellikler
Aşağıdaki özellikler her x ve y gerçek sayısı için geçerlidir ve mutlak değerli ifadeleri açmadan sadeleştirmeni sağlar:
- |x| ≥ 0 ve |x| = |−x|.
- |x·y| = |x|·|y| ve y ≠ 0 için |x/y| = |x|/|y|.
- n pozitif tam sayı olmak üzere |xⁿ| = |x|ⁿ; özel olarak |x|² = x².
- |x + y| ≤ |x| + |y| (üçgen eşitsizliği).
- c pozitif ise |x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c ve |x| ≥ c ⇔ x ≥ c veya x ≤ −c.
Mutlak değerden kurtulma
Önce mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini belirlersin. İçi pozitif ya da sıfırsa ifade aynen dışarı çıkar; içi negatifse −1 ile çarpılarak, yani bütün terimlerin işareti değiştirilerek çıkar. a < 0 < b ise a − b negatiftir ve |a − b| = b − a olur. √2 ≈ 1,41 olduğundan √2 − 2 negatiftir ve |√2 − 2| = 2 − √2 olur.
Denklem ve eşitsizlikler
c ≥ 0 olmak üzere |ax + b| = c denkleminde içerideki ifade c ya da −c olabilir: ax + b = c veya ax + b = −c. c negatifse çözüm yoktur, çünkü mutlak değer negatif olamaz. Eşitsizliklerde |A| ≤ c, −c ≤ A ≤ c biçiminde tek bir aralığa; |A| ≥ c ise A ≥ c veya A ≤ −c biçiminde iki parçaya dönüşür.
İki mutlak değer içeren ifadelerde her mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalar sayı doğrusunu bölgelere ayırır; her bölgede mutlak değerler kaldırılıp ifade ayrı ayrı incelenir. Lise programı ikiden çok mutlak değer içeren denklem ve eşitsizliklere girmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a < 0 < b olduğuna göre |a − b| + |b| − |a| ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm. Her mutlak değerin içinin işaretini buluruz. a − b ifadesinde negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç negatiftir: |a − b| = b − a. b pozitif olduğundan |b| = b; a negatif olduğundan |a| = −a. İfade (b − a) + b − (−a) = b − a + b + a = 2b olur.
Örnek 2. |2x − 3| = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm. Sağ taraf pozitif olduğu için içerideki ifade 7 ya da −7 olabilir. 2x − 3 = 7 ise 2x = 10 ve x = 5; 2x − 3 = −7 ise 2x = −4 ve x = −2 bulunur. Kontrol: |2·5 − 3| = 7 ve |2·(−2) − 3| = |−7| = 7. Çözüm kümesi {−2, 5}'tir.
Örnek 3. |x − 1| < 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm. |A| < c kalıbı tek aralık verir: −4 < x − 1 < 4. Üç tarafa 1 ekleriz: −3 < x < 5. Bu aralıktaki tam sayılar −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4'tür. −2 ile 2 ve −1 ile 1 birbirini götürür; toplam 0 + 3 + 4 = 7'dir.
Sık yapılan hatalar
- |x| = −x ifadesini görünce mutlak değerin negatif çıktığını sanmak; x negatifse −x pozitiftir.
- |a − b| ifadesini |a| − |b| sanmak.
- |ax + b| = c denkleminde c negatifken çözüm aramak.
- |A| ≥ c eşitsizliğini tek aralık gibi −c ≤ A ≤ c yazmak.
- x ≥ 0 ise |x| = x, x < 0 ise |x| = −x; mutlak değer hiçbir zaman negatif değildir.
- |a − b|, sayı doğrusunda a ile b arasındaki uzaklıktır.
- |x·y| = |x|·|y|, |x/y| = |x|/|y|, |x + y| ≤ |x| + |y|.
- |A| ≤ c tek aralık, |A| ≥ c iki parça verir.