Konu anlatımı
İki ya da daha fazla sayının ortak bölenlerinden en büyüğüne EBOB (en büyük ortak bölen), ortak katlarından en küçüğüne EKOK (en küçük ortak kat) denir. EBOB bir bütünü eşit ve olabildiğince büyük parçalara ayırmanın, EKOK ise küçük parçaları birleştirmenin ve farklı döngülerin yeniden çakıştığı ilk anı bulmanın aracıdır.
Bu sayfada önce iki kavramın tanımını ve asal çarpanlarla nasıl bulunduklarını, sonra aralarındaki ilişkiyi ve tipik problem türlerini göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
EBOB ve EKOK'un tanımı
a ve b pozitif tam sayılarının ikisini de bölen sayılara ortak bölen denir; bunların en büyüğü EBOB(a, b)'dir. Hem a'nın hem b'nin katı olan pozitif sayılara ortak kat denir; bunların en küçüğü EKOK(a, b)'dir. Örneğin 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18'in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18 olduğundan ortak bölenler 1, 2, 3, 6 ve EBOB(12, 18) = 6'dır. 12'nin katları 12, 24, 36, ... ve 18'in katları 18, 36, ... olduğundan EKOK(12, 18) = 36'dır.
EBOB sayıların hiçbirinden büyük olamaz; EKOK ise sayıların hiçbirinden küçük olamaz. Bu basit gözlem, bulduğun sonucu kontrol etmekte ve yanlış seçenekleri elemekte işe yarar.
Asal çarpanlarla bulma
Sayıları asal çarpanlarına ayırırsın. EBOB için ortak asal çarpanları en küçük üsleriyle, EKOK için sayılarda geçen bütün asal çarpanları en büyük üsleriyle alıp çarparsın. 60 = 2²·3·5 ve 84 = 2²·3·7 için EBOB = 2²·3 = 12, EKOK = 2²·3·5·7 = 420 olur.
Kuralın nedeni açıktır: ortak bölen her iki sayının içinde bulunmalıdır, bu yüzden bir asalın üssü iki sayıdakinden de büyük olamaz. Ortak kat ise her iki sayıyı da içermelidir, bu yüzden bir asalın üssü iki sayıdakinden de küçük olamaz.
EBOB ile EKOK arasındaki ilişki
İki pozitif tam sayı için EBOB(a, b)·EKOK(a, b) = a·b'dir; örneğin 12·420 = 5040 = 60·84. EBOB(a, b) = d ise a = d·x ve b = d·y yazılır. Burada x ile y aralarında asaldır ve EKOK(a, b) = d·x·y olur. Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarıdır.
Problemlerde hangisi kullanılır?
Bir bütünü eşit ve olabildiğince büyük parçalara ayırmak ya da birkaç miktarı aynı büyüklükte gruplara bölmek isteniyorsa EBOB kullanılır; parça sayısının en az olması da en büyük parça boyuyla sağlanır. Küçük parçaları birleştirerek en küçük bir bütün oluşturmak ya da farklı aralıklarla tekrar eden olayların birlikte gerçekleştiği ilk anı bulmak isteniyorsa EKOK kullanılır.
- Eşit parçalara bölme, en büyük kare fayans, eşit aralıklı ağaç dikme: EBOB.
- Dikdörtgenlerden en küçük kare oluşturma, birlikte tekrar eden olaylar, kalanlı bölme koşulları: EKOK.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a ve b pozitif tam sayılardır. EBOB(a, b) = 6 ve EKOK(a, b) = 90 olduğuna göre a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm. a = 6x ve b = 6y yazarız; x ile y aralarında asaldır ve EKOK = 6·x·y = 90 olduğundan x·y = 15'tir. Çarpımı 15 olan aralarında asal çiftler (1, 15) ve (3, 5)'tir. İlk çift a + b = 6·(1 + 15) = 96, ikinci çift a + b = 6·(3 + 5) = 48 verir. En küçük toplam 48'dir; sayılar 18 ve 30'dur. Kontrol: EBOB(18, 30) = 6, EKOK(18, 30) = 90.
Örnek 2. Boyutları 84 cm ve 126 cm olan dikdörtgen bir pano, boşluk kalmayacak biçimde birbirine eş ve olabildiğince büyük kare kartonlarla kaplanacaktır. Kaç karton gerekir?
Çözüm. Karenin kenarı hem 84'ü hem 126'yı bölmelidir; en büyük kenar EBOB(84, 126)'dır. 84 = 2²·3·7 ve 126 = 2·3²·7 olduğundan EBOB = 2·3·7 = 42 cm bulunur. Bir kenara 84 ÷ 42 = 2, öbür kenara 126 ÷ 42 = 3 karton sığar. Toplam 2·3 = 6 karton gerekir.
Örnek 3. Bir istasyondan A treni 12 dakikada bir, B treni 18 dakikada bir kalkıyor. İki tren 09.00'da birlikte kalktığına göre, bir sonraki birlikte kalkış ne zaman olur?
Çözüm. Birlikte kalkış için geçen süre hem 12'nin hem 18'in katı olmalıdır; ilk ortak kat EKOK(12, 18)'dir. 12 = 2²·3 ve 18 = 2·3² olduğundan EKOK = 2²·3² = 36 dakikadır. İki tren 09.00'dan 36 dakika sonra, yani 09.36'da yeniden birlikte kalkar.
Sık yapılan hatalar
- EBOB için asal çarpanların en büyük üslerini, EKOK için en küçük üslerini almak; doğrusu tam tersidir.
- EBOB·EKOK = a·b eşitliğini üç sayı için de kullanmak; bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir.
- Problemde EBOB mu EKOK mu gerektiğini durumun yapısına bakarak seçmemek: parçalamak EBOB, birleştirmek ve çakıştırmak EKOK gerektirir.
- a = d·x, b = d·y yazarken x ile y'nin aralarında asal olma koşulunu unutmak.
- EBOB: ortak asal çarpanlar, en küçük üslerle. EKOK: bütün asal çarpanlar, en büyük üslerle.
- İki sayı için EBOB·EKOK = a·b.
- a = d·x, b = d·y (x ile y aralarında asal) ise EKOK = d·x·y.
- EBOB sayıların her birinden küçük ya da onlara eşit, EKOK her birinden büyük ya da onlara eşittir.