Konu anlatımı
EBOB'u bulmanın birkaç yolu vardır ve her biri farklı durumlarda hız kazandırır. Bu alt başlıkta küçük sayılar için listelemeyi, her durumda işleyen asal çarpan yöntemini, ortak bölme tablosunu ve EBOB'un bazı kullanışlı özelliklerini göreceksin.
Listeleme ve asal çarpan yöntemi
Küçük sayılarda bölenleri listeleyip ortak olanların en büyüğünü seçebilirsin. Sayılar büyüdükçe asal çarpan yöntemi daha güvenlidir: sayıları asal çarpanlarına ayırır, ortak asal çarpanları en küçük üsleriyle çarparsın. 72 = 2³·3² ve 120 = 2³·3·5 için ortak asallar 2 ve 3'tür; en küçük üsler 3 ve 1 olduğundan EBOB = 2³·3 = 24'tür.
Ortak asal çarpan yoksa EBOB 1'dir ve sayılar aralarında asaldır: 35 = 5·7 ve 48 = 2⁴·3 olduğundan EBOB(35, 48) = 1'dir.
Ortak bölme tablosu
Sayıları yan yana yazıp hepsini birden bölen asal sayılarla art arda bölersin; bütün sayıları birlikte bölen bir asal kalmayınca durursun. Kullandığın asal sayıların çarpımı EBOB'dur.
48, 72 ve 108 için: hepsi 2'ye bölünür ve 24, 36, 54 olur; yine 2'ye bölünür ve 12, 18, 27 olur; 3'e bölünür ve 4, 6, 9 olur. 4, 6 ve 9 sayılarının 1'den başka ortak böleni yoktur. EBOB = 2·2·3 = 12'dir.
Kullanışlı özellikler
Bazı durumlarda EBOB'u hesap yapmadan ya da çok kısa bir hesapla bulursun:
- a, b'nin böleniyse EBOB(a, b) = a'dır: EBOB(9, 45) = 9.
- Ardışık iki tam sayının EBOB'u 1'dir.
- EBOB(a, b), a ile b'nin farkını da böler. EBOB(91, 104) için farkı 13'ü denersin; 91 = 7·13 ve 104 = 8·13 olduğundan EBOB = 13 bulunur.
- Sayıları aynı k sayısıyla çarpmak EBOB'u da k ile çarpar: EBOB(30, 45) = 15 ise EBOB(60, 90) = 30.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. EBOB(84, 126, 210) kaçtır?
Çözüm. Sayıları asal çarpanlarına ayırırız: 84 = 2²·3·7, 126 = 2·3²·7, 210 = 2·3·5·7. Üç sayıda da ortak olan asallar 2, 3 ve 7'dir; en küçük üsleri sırasıyla 1, 1 ve 1'dir. 5 yalnızca 210'da geçtiği için alınmaz. EBOB = 2·3·7 = 42'dir.
Örnek 2. a ve b pozitif tam sayılarının EBOB'u 8 ve toplamları 56'dır. a sayısı b'den küçük olduğuna göre kaç farklı (a, b) ikilisi vardır?
Çözüm. a = 8x ve b = 8y yazarız; x ile y aralarında asaldır ve x, y'den küçüktür. 8(x + y) = 56 olduğundan x + y = 7'dir. Toplamı 7 olan çiftler (1, 6), (2, 5), (3, 4)'tür ve üçünde de sayılar aralarında asaldır. İkililer (8, 48), (16, 40), (24, 32) olmak üzere 3 tanedir.
Sık yapılan hatalar
- Ortak bölme tablosunda sayılardan yalnızca birini bölen asalları da EBOB'a katmak.
- EBOB'da ortak olmayan asal çarpanları da çarpıma eklemek.
- a = d·x, b = d·y yazınca x ile y'nin aralarında asal olmasını kontrol etmemek.
- EBOB = ortak asal çarpanların en küçük üslerle çarpımı.
- Ortak bölme tablosunda yalnızca bütün sayıları birlikte bölen asallar kullanılır.
- EBOB(a, b), a ile b'nin farkını da böler.