Konu anlatımı
a, b, c gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökleri, köklerin kümesine çözüm kümesi denir. Bu denklemlerin çözüm yollarını Brahmagupta, Harezmî ve Abdulhamid İbn Türk gibi matematikçiler yüzyıllar önce geometrik ve sözel yöntemlerle incelemiştir.
Bu sayfada çarpanlara ayırma, tam kareye tamamlama ve diskriminantla çözümü, köklerin durumunu, karmaşık kökleri, kökler ile katsayılar arasındaki ilişkileri, kökleri verilen denklemi kurmayı ve problem çözmeyi göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Çarpanlara ayırarak çözüm
İki sayının çarpımı sıfırsa sayılardan en az biri sıfırdır. Bu yüzden denklem bir tarafı sıfır olacak biçimde yazılıp çarpanlarına ayrılabiliyorsa her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenir: x² − 5x + 6 = 0 için (x − 2)(x − 3) = 0 ve kökler 2 ile 3'tür. x² − 9 = 0 denklemi iki kare farkıyla, 2x² − 6x = 0 denklemi ortak çarpanla çözülür: 2x(x − 3) = 0 ise x = 0 ya da x = 3.
Tam kareye tamamlama ve kök formülü
Her denklem kolayca çarpanlarına ayrılmaz. x² + 6x + 4 = 0 için x² + 6x ifadesi tam kareye tamamlanır: (x + 3)² − 9 + 4 = 0, yani (x + 3)² = 5 ve x = −3 ± √5. Aynı işlem ax² + bx + c = 0 için yapılınca kök formülü elde edilir: Δ = b² − 4ac olmak üzere x = (−b ± √Δ)/(2a).
Diskriminant ve köklerin durumu
Δ = b² − 4ac sayısına diskriminant denir. Δ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü, Δ = 0 ise birbirine eşit iki gerçek kökü (çakışık kök) vardır; Δ < 0 ise gerçek kökü yoktur.
Δ < 0 olduğunda kökler karmaşık sayılardır: i² = −1 olmak üzere a + ib biçiminde yazılır ve birbirinin eşleniğidir. x² − 2x + 5 = 0 için Δ = −16 olur ve kökler 1 + 2i ile 1 − 2i'dir. Program karmaşık sayıları yalnızca bu gösterim ve eşlenik kavramıyla sınırlı tutar.
Kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler
ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise x₁ + x₂ = −b/a ve x₁·x₂ = c/a olur. Bu iki ilişki kökleri bulmadan kökler hakkında bilgi verir: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ ve 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) gibi. Kökleri x₁ ve x₂ olan ve baş katsayısı 1 olan denklem x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0 biçiminde kurulur.
Problem kurma
Alan, hacim ve sayı problemleri çoğu zaman ikinci dereceden bir denkleme götürür, çünkü iki bilinmeyen büyüklüğün çarpımı söz konusudur. Bulunan köklerden hangisinin anlamlı olduğunu mutlaka kontrol et: bir uzunluk negatif olamaz, bir kişi ya da ürün sayısı tam sayı olmalıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − (k + 3)x + 4k = 0 denkleminin birbirine eşit iki gerçek kökü olduğuna göre k'nin alabileceği değerler nelerdir? Her durumda kök kaçtır?
Çözüm. Çakışık kök için Δ = 0 olmalıdır: (k + 3)² − 16k = k² − 10k + 9 = (k − 1)(k − 9) = 0, yani k = 1 ya da k = 9. k = 1 için denklem x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0 olur ve kök 2'dir. k = 9 için x² − 12x + 36 = (x − 6)² = 0 olur ve kök 6'dır. Çakışık kök her durumda kökler toplamının yarısıdır: (k + 3)/2.
Örnek 2. x² − 6x + 2 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂'dir. x₁² + x₂² ve 1/x₁ + 1/x₂ kaçtır?
Çözüm. Kökleri bulmadan toplam ve çarpımı kullanırız: x₁ + x₂ = 6 ve x₁·x₂ = 2. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 36 − 4 = 32 olur. 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 6/2 = 3 bulunur.
Örnek 3. Kökleri 2 + √3 ve 2 − √3 olan ve baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden denklem nedir?
Çözüm. Köklerin toplamı (2 + √3) + (2 − √3) = 4'tür. Çarpımı iki kare farkıyla bulunur: (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1. Denklem x² − 4x + 1 = 0'dır. Köklü terimlerin toplamda ve çarpımda kaybolması, katsayıları tam sayı yapar.
Örnek 4. Bir dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarından 3 cm fazladır ve alanı 40 cm²'dir. Dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir?
Çözüm. Kısa kenar x ise uzun kenar x + 3'tür ve x(x + 3) = 40 yazılır. x² + 3x − 40 = 0 denklemi (x + 8)(x − 5) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Uzunluk negatif olamayacağı için x = 5'tir; kenarlar 5 cm ve 8 cm'dir. Çevre 2·(5 + 8) = 26 cm olur.
Sık yapılan hatalar
- Denklemin bir tarafını sıfır yapmadan çarpanlara ayırmaya çalışmak: x(x − 1) = 6 için x = 6 ya da x − 1 = 6 yazmak.
- İki tarafı x ile bölüp x = 0 kökünü kaybetmek.
- Kökler toplamını b/a sanmak; doğrusu −b/a'dır.
- Δ < 0 iken denklemin hiç kökü olmadığını söylemek; gerçek kökü yoktur, kökleri karmaşıktır.
- Parametreli sorularda a ≠ 0 ve Δ ≥ 0 koşullarını kontrol etmemek.
- Çarpım sıfırsa çarpanlardan en az biri sıfırdır.
- Δ = b² − 4ac ve x = (−b ± √Δ)/(2a).
- Δ > 0 iki farklı gerçek kök, Δ = 0 çakışık kök, Δ < 0 eşlenik karmaşık kökler.
- x₁ + x₂ = −b/a ve x₁·x₂ = c/a.
- Kökleri verilen denklem: x² − (toplam)x + (çarpım) = 0.