Konu anlatımı
Oran, iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır: bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci varsa kızların erkeklere oranı 12/18 = 2/3'tür. Orantı ise iki oranın eşitliğidir. Bu iki kavram, bir tarifi kişi sayısına göre ayarlamaktan harita okumaya, bir parayı katkıya göre bölüşmekten hız hesabına kadar pek çok durumda karşına çıkar ve problem konularının çoğunun temelini oluşturur.
Bu sayfada orantının temel özelliklerini, doğru ve ters orantıyı, birden çok çokluğun aynı anda değiştiği bileşik orantıyı ve orantılı paylaştırmayı göreceksin. Her başlığın ayrıntısı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Oran
b ≠ 0 olmak üzere a/b ya da a : b ifadesine a'nın b'ye oranı denir. Aynı türden çoklukların oranı yazılmadan önce birimler eşitlenir ve sonuç birimsizdir: 40 cm'nin 2 m'ye oranı 40/200 = 1/5'tir. Farklı türden çoklukların oranı ise bir birim taşır: 180 km'yi 2 saatte alan bir aracın hızı saatte 90 km'dir.
a/b = 3/5 bilgisi a'nın 3, b'nin 5 olduğunu söylemez; a'nın 3, b'nin 5 eş parçadan oluştuğunu söyler. Bu yüzden a = 3k ve b = 5k yazılır.
Orantı ve temel özellikleri
a/b = c/d eşitliğine orantı denir. Orantıda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir: a·d = b·c. Eşit oranların ortak değerine k dersen a = bk ve c = dk olur; ayrıca paylar toplamının paydalar toplamına oranı da k'dir: (a + c)/(b + d) = k. Bu özellikler birkaç bilinmeyeni tek bir harfe indirmeni sağlar.
Doğru orantı
İki çokluktan biri kaç katına çıkınca öbürü de aynı katına çıkıyorsa bu çokluklar doğru orantılıdır ve bölümleri sabittir: y/x = k, yani y = kx. Tanesi 15 TL olan defterlerden 4 tanesi 60 TL, 8 tanesi 120 TL tutar; tutarın adede oranı hep 15'tir. Doğru orantılı çoklukların grafiği başlangıç noktasından geçen bir doğrudur. Taksi açılış ücreti gibi sabit bir ek ücret varsa çokluklar birlikte artsa da doğru orantılı değildir.
Ters orantı
Biri kaç katına çıkınca öbürü aynı oranda küçülüyorsa çokluklar ters orantılıdır ve çarpımları sabittir: x·y = k. 360 km'lik yolu saatte 90 km hızla giden bir araç 4 saatte, saatte 120 km hızla giden bir araç 3 saatte alır; hız ile sürenin çarpımı her zaman 360'tır. Sabit çarpım çoğunlukla değişmeyen bir bütünü anlatır: yolun uzunluğu ya da paylaşılan toplam miktar gibi.
Bileşik orantı
Bir çokluk birden fazla çokluğa bağlıysa her ilişki, öbür çokluklar sabit tutularak ayrı ayrı incelenir. Bir duvarı boyamak için gereken boya hem duvarın yüksekliğiyle hem uzunluğuyla doğru orantılıdır; bu yüzden boya/(yükseklik·uzunluk) oranı sabittir. Genel kural şudur: Sorulan çokluk, doğru orantılı olduğu çoklukların çarpımına bölünür, ters orantılı olduğu çokluklarla çarpılır ve sonuç sabit kalır.
Orantılı paylaştırma
Bir miktar 2, 3 ve 5 ile doğru orantılı paylaştırılacaksa paylar 2k, 3k ve 5k alınır. Ters orantılı paylaştırmada paylar sayıların tersleriyle orantılıdır: 2, 3 ve 6 ile ters orantılı paylar 1/2 : 1/3 : 1/6 oranındadır ve paydaların EKOK'u olan 6 ile çarpılınca 3 : 2 : 1 oranı elde edilir. Doğru orantılı paylaştırmada büyük sayıya, ters orantılı paylaştırmada küçük sayıya büyük pay düşer.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a/b = 3/5 ve a + b = 48 olduğuna göre b − a kaçtır?
Çözüm. Oran, a'nın 3 ve b'nin 5 eş parçadan oluştuğunu anlatır: a = 3k ve b = 5k. Toplam 8k = 48 olduğundan k = 6 bulunur. Fark b − a = 5k − 3k = 2k = 12'dir. İstersen a = 18 ve b = 30 değerlerini bulup 30 − 18 = 12 diye kontrol edebilirsin.
Örnek 2. Bir miktar para 12 kişiye eşit paylaştırılınca kişi başına 150 TL düşüyor. Aynı para 18 kişiye eşit paylaştırılırsa kişi başına kaç TL düşer?
Çözüm. Paylaşılan toplam para değişmediği için kişi sayısı ile kişi başına düşen pay ters orantılıdır; çarpımları sabittir. Toplam 12·150 = 1800 TL'dir. 18 kişiye bölünce kişi başına 1800/18 = 100 TL düşer. Kişi sayısı 1,5 katına çıktığı için pay 1,5'e bölünmüştür.
Örnek 3. 3 m yüksekliğinde ve 8 m uzunluğundaki bir duvar için 6 litre boya gerekiyor. Aynı boyayla 2,5 m yüksekliğinde ve 12 m uzunluğundaki bir duvar için kaç litre boya gerekir?
Çözüm. Boya miktarı hem yükseklikle hem uzunlukla doğru orantılıdır, yani duvarın alanıyla doğru orantılıdır. İlk duvarın alanı 3·8 = 24 m² olduğundan metrekareye 6/24 = 0,25 litre boya düşer. İkinci duvarın alanı 2,5·12 = 30 m²'dir; gereken boya 0,25·30 = 7,5 litredir.
Örnek 4. 1800 TL, üç kardeş arasında 4, 5 ve 6 sayılarıyla doğru orantılı paylaştırılıyor. En büyük payı alan kardeş kaç TL alır?
Çözüm. Paylar 4k, 5k ve 6k'dir; toplamları 15k = 1800 olduğundan k = 120 bulunur. En büyük pay 6k = 6·120 = 720 TL'dir. Kontrol: 480 + 600 + 720 = 1800.
Sık yapılan hatalar
- Birimleri eşitlemeden oran yazmak: 40 cm'nin 2 m'ye oranını 20 sanmak.
- a/b = 3/5 bilgisinden a = 3 ve b = 5 sonucunu çıkarmak; yalnızca a = 3k ve b = 5k yazılabilir.
- Ters orantılı çoklukları doğru orantı gibi kurmak: hız artınca sürenin de arttığını sanmak.
- Birlikte artan her çokluğu doğru orantılı sanmak; sabit bir ek ücret orantıyı bozar.
- Ters orantılı paylaştırmada sayıların terslerini almadan paylaştırmak.
- Oran yazmadan önce birimleri eşitle.
- a/b = c/d ise a·d = b·c; eşit oranlardaki bilinmeyenleri tek bir k ile yaz.
- Doğru orantıda bölüm, ters orantıda çarpım sabittir.
- Bileşik orantıda her ilişkiyi öbür çokluklar sabitken ayrı ayrı incele.
- Ters orantılı paylaştırmada terslerin oranını paydaların EKOK'u ile tam sayıya çevir.