Temel Kavramlar konu anlatımı

Konu anlatımı

Temel kavramlar, sayılarla yaptığın her işlemde kullandığın tanımların toplamıdır: rakam ve sayı, sayı kümeleri, tek ve çift sayılar, pozitif ve negatif sayılar, ardışık sayılar, asal sayılar ve faktöriyel. Tanımlar kısadır ama sorular genellikle bir tanımın sınırını yoklar: 0 bir rakam mıdır, 0 çift midir, 1 asal mıdır, −3 bir doğal sayı mıdır?

Bu sayfada her kavramı önce tanımıyla, sonra bu tanımdan çıkan kuralla ve kuralın neden doğru olduğuyla göreceksin. Kuralın nedenini bilirsen soru biraz değiştiğinde de doğru yolu kendin kurarsın. Her kavramın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.

Rakam ve sayı

Rakam, sayıları yazmak için kullandığımız on sembolün her biridir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sayı ise bir çokluğu belirten ifadedir ve rakamlar yan yana yazılarak oluşturulur. Her rakam tek başına bir sayıdır ama her sayı rakam değildir; örneğin 15 bir sayıdır, rakam değildir.

Sorularda “a, b, c rakamdır” ifadesi her harfin 0 ile 9 arasında bir tam sayı olduğunu söyler. “Birbirinden farklı rakamlar” denirse aynı rakam iki harfe verilemez. Bir ifadenin en büyük değerini ararken en büyük katsayılı pozitif terime en büyük rakamı, çıkarılan terime ise en küçük rakamı verirsin.

• En küçük rakam 0, en büyük rakam 9'dur.
• Pozitif rakamlar 1'den 9'a kadar olan dokuz rakamdır; 0 pozitif değildir.
• Çok basamaklı bir sayının en soldaki rakamı 0 olamaz.

Sayı kümeleri

Doğal sayılar N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesidir. Tam sayılar Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} kümesidir. a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir ve bu küme Q ile gösterilir. √2, √3, π gibi a/b biçiminde yazılamayan sayılar irrasyoneldir ve Q' ile gösterilir. Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi gerçek sayılar kümesi R'dir.

Bu kümeler iç içedir: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Her doğal sayı bir tam sayıdır, her tam sayı da paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır. Rasyonel ve irrasyonel sayıların ise ortak elemanı yoktur.

Tek ve çift sayılar, pozitif ve negatif sayılar

2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift sayı, bölünemeyenlere tek sayı denir. Çift sayıları 2k, tek sayıları 2k + 1 biçiminde yazarsın (k bir tam sayı). Bu gösterimle kuralları kolayca kanıtlarsın: (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1) olduğu için iki tek sayının toplamı çifttir. 0 = 2·0 olduğundan 0 çift sayıdır.

Sıfırdan büyük sayılar pozitif, sıfırdan küçük sayılar negatiftir; 0 ne pozitif ne negatiftir. Çarpma ve bölmede aynı işaretli iki sayının sonucu pozitif, farklı işaretli iki sayının sonucu negatiftir. Bu yüzden negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8.

• Çift + çift = çift, tek + tek = çift, tek + çift = tek.
• Çarpanlardan en az biri çiftse çarpım çifttir; çarpım ancak bütün çarpanlar tekse tektir.
• Çarpımda negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir.

Ardışık sayılar

Aralarındaki fark hep aynı olan ve sırayla gelen sayılara ardışık sayılar denir. Ardışık tam sayılar n, n + 1, n + 2 biçiminde birer birer; ardışık çift ya da ardışık tek sayılar ise ikişer ikişer artar. Ardışık tek sayıları n, n + 2, n + 4 biçiminde yazman gerekir; n, n + 1 yazarsan biri tek, biri çift olur.

Aynı miktarda artan bir dizide terim sayısı = (son terim − ilk terim) ÷ artış + 1 olur. Sondaki 1, adım sayısına ilk terimi de eklemekten gelir. Toplam ise (ilk terim + son terim) · terim sayısı ÷ 2 ile bulunur: diziyi bir kez baştan, bir kez sondan yazıp alt alta toplarsan her sütunun toplamı ilk terim + son terim olur.

Asal sayılar ve faktöriyel

1'den büyük olup pozitif bölenleri yalnızca 1 ve kendisi olan doğal sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... 1 asal değildir, çünkü tek bir pozitif böleni vardır. 2 hem en küçük asal sayı hem de çift olan tek asal sayıdır. 1'den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara ise aralarında asal sayılar denir; örneğin 8 ile 15 asal değildir ama aralarında asaldır.

1'den n'ye kadar olan pozitif tam sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir: 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Tanım gereği 0! = 1 ve 1! = 1'dir. n! = n·(n − 1)! eşitliği faktöriyelli kesirleri sadeleştirmenin anahtarıdır: 8!/6! = 8·7·6!/6! = 56.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• 0'ı pozitif sanmak: 0 ne pozitif ne negatiftir; buna karşılık hem çift sayı hem de doğal sayıdır.
• 1'i asal saymak: asal sayı tanımı 1'den büyük olmayı şart koşar.
• Terim sayısını (son − ilk) ÷ artış diye bırakıp sondaki +1'i unutmak.
• −2⁴ ile (−2)⁴'ü aynı sanmak: birincisinde üs yalnız 2'ye aittir ve sonuç −16'dır, ikincisinin sonucu 16'dır.
• 0! değerini 0 almak: 0! = 1'dir.