Konu anlatımı
Eşitsizlikler, iki nicelik eşit olmadığında hangisinin büyük olduğunu anlatır. Denklemler genellikle tek bir değer verirken eşitsizlikler bir değer aralığı verir: x + 3 > 5 eşitsizliğini 2'den büyük bütün gerçek sayılar sağlar. Bu konuda eşitsizliklerle güvenle işlem yapmayı ve çözüm kümelerini aralıklarla göstermeyi öğreneceksin.
Konunun kilit noktası, hangi işlemin eşitsizliğin yönünü koruduğunu, hangisinin değiştirdiğini bilmektir. Bu sayfada kuralları nedenleriyle göreceksin; aralıklarla işlemler, sistemler ve kare alma gibi ayrıntılar alt başlıklarda yer alıyor.
Eşitsizlik sembolleri
a < b ifadesi “a, b'den küçüktür” diye okunur ve sayı doğrusunda a'nın b'nin solunda olduğunu anlatır. a ≤ b ise “a, b'den küçük ya da b'ye eşittir” demektir. > ve ≥ sembolleri aynı ilişkileri ters yönden anlatır: b > a ile a < b aynı şeyi söyler. < ve > kesin eşitsizlik, ≤ ve ≥ ise eşitliğe de izin veren eşitsizliktir.
Eşitsizliğin özellikleri
Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa yönü değişmez. İki taraf aynı pozitif sayıyla çarpılır ya da bölünürse de yön değişmez. Ama iki taraf negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön değişir: 2 < 5 iken (−1) ile çarpınca −2 > −5 olur. Çünkü negatif sayıyla çarpmak sayı doğrusunu 0'a göre ters çevirir; soldaki sayı sağa geçer.
- a < b ise a + c < b + c ve a − c < b − c.
- a < b ve c > 0 ise a·c < b·c ve a/c < b/c.
- a < b ve c < 0 ise a·c > b·c ve a/c > b/c.
- a < b ve b < c ise a < c (geçişme).
- Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir ama çıkarılamaz.
Aralıklar
İki sayı arasındaki bütün gerçek sayıların kümesine aralık denir. Uç noktaları dahil değilse açık aralık (a, b), dahilse kapalı aralık [a, b], biri dahil biri değilse yarı açık aralık [a, b) ya da (a, b] yazılır. Örneğin −2 < x ≤ 5 koşulu (−2, 5] aralığıdır. Sonsuzluk bir sayı olmadığı için ∞ ve −∞ yanında her zaman açık parantez kullanılır: x ≥ 3 için [3, ∞).
Birinci dereceden eşitsizlik çözme
ax + b < c türündeki eşitsizlikler denklem gibi çözülür; yalnızca negatif bir sayıyla çarparken ya da bölerken yön çevrilir. 5 − 3x ≥ 11 için önce iki taraftan 5 çıkarılır: −3x ≥ 6. Sonra −3'e bölünür ve yön değişir: x ≤ −2. Çözüm kümesi (−∞, −2] aralığıdır.
İki taraflı eşitsizliklerde aynı işlem üç tarafa birden uygulanır: −1 < 2x + 3 ≤ 9 için 3 çıkarılınca −4 < 2x ≤ 6, 2'ye bölününce −2 < x ≤ 3 bulunur.
Aralıklarla işlem, kare ve ters
x ve y'nin aralıkları biliniyorsa x + y için alt sınırlar ve üst sınırlar ayrı ayrı toplanır. x − y için x'in alt sınırından y'nin üst sınırı, x'in üst sınırından y'nin alt sınırı çıkarılır. x·y için dört uç çarpımı hesaplanır; en küçüğü alt, en büyüğü üst sınırdır.
Kare alırken aralığın 0'ı içerip içermediğine bakılır: −3 < x < 2 ise x² en küçük değeri olan 0'ı x = 0'da alır, üstte ise 9'a yaklaşır ama ulaşamaz: 0 ≤ x² < 9. Ters çevirmede aralığın iki ucu aynı işaretliyse yön değişir: 2 < x < 5 ise 1/5 < 1/x < 1/2.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 3 − 2x > x − 9 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır?
Çözüm. Bilinmeyenleri bir tarafa, sabitleri öbür tarafa toplarız: 3 + 9 > x + 2x, yani 12 > 3x. İki tarafı pozitif 3'e bölünce yön değişmez: 4 > x, yani x < 4. Eşitsizlik kesin olduğu için 4 çözümde değildir; en büyük tam sayı 3'tür.
Örnek 2. 2 < a < 6 ve 1 < b < 3 olduğuna göre a/b ifadesinin alabileceği değerler hangi aralıktadır?
Çözüm. a ve b pozitiftir. Bölümü en küçük yapmak için payı küçük, paydayı büyük seçeriz: 2/3. En büyük yapmak için payı büyük, paydayı küçük seçeriz: 6/1 = 6. Aynı sonuca 1/3 < 1/b < 1 aralığını pozitif a aralığıyla çarparak da ulaşırsın. Uç değerler dahil olmadığı için 2/3 < a/b < 6 olur.
Örnek 3. −3 < x < 2 olduğuna göre x² + 1 ifadesinin alabileceği değerler hangi aralıktadır?
Çözüm. Aralık 0'ı içerdiği için x² en küçük değeri olan 0'ı x = 0'da alır. En büyük değer, işaretsiz değeri en büyük olan uç olan −3'ün karesi 9'a yaklaşır ama −3 dahil olmadığı için 9'a ulaşmaz. Böylece 0 ≤ x² < 9 ve 1 eklenince 1 ≤ x² + 1 < 10 bulunur. Değerler [1, 10) aralığındadır.
Sık yapılan hatalar
- Negatif bir sayıyla çarparken ya da bölerken eşitsizliğin yönünü çevirmeyi unutmak.
- Aralıklarla çıkarma yaparken x'in alt sınırından y'nin alt sınırını çıkarmak.
- −3 < x < 2 için uçların karelerini alıp 4 < x² < 9 yazmak; aralık 0'ı içeriyorsa x²'nin en küçük değeri 0'dır.
- Açık uçtaki sayıyı çözüme katmak ya da ∞ yanında köşeli parantez kullanmak.
- Toplama, çıkarma ve pozitif sayıyla çarpma-bölme yönü korur; negatif sayıyla çarpma-bölme yönü değiştirir.
- ( ) uç dahil değil, [ ] uç dahil; ∞ yanında hep açık parantez.
- x + y: alt + alt ve üst + üst; x − y: alt − üst ve üst − alt; x·y: dört uç çarpımı.
- Aralık 0'ı içeriyorsa x²'nin en küçük değeri 0'dır.
- Uçları aynı işaretli bir aralıkta ters çevirince yön değişir.