Konu anlatımı
Bazen bir bilinmeyen aynı anda birden çok koşulu sağlamak zorundadır. Bu alt başlıkta iki taraflı eşitsizlikleri ve birden çok eşitsizliğin oluşturduğu sistemleri çözmeyi, ortak çözüm kümesini sayı doğrusunda bulmayı göreceksin.
İki taraflı eşitsizlikler
a < px + q < b biçimindeki bir eşitsizlik aslında iki eşitsizliğin birlikte sağlanmasıdır; her işlemi üç tarafa birden uygularsın. −5 ≤ 3 − 2x < 7 için önce 3 çıkarılır: −8 ≤ −2x < 4. Sonra −2'ye bölünür ve iki yön birden değişir: 4 ≥ x > −2. Bunu küçükten büyüğe −2 < x ≤ 4 diye yazarsın; çözüm (−2, 4] aralığıdır.
Bilinmeyen birden çok tarafta geçiyorsa, örneğin x + 1 < 2x < x + 5 ise, iki taraflı yazımı ikiye ayırırsın: x + 1 < 2x eşitsizliğinden x > 1, 2x < x + 5 eşitsizliğinden x < 5 bulunur. İkisinin kesişimi (1, 5) çözüm kümesidir.
“Ve” ile bağlı sistemler
İki eşitsizlik “ve” ile bağlıysa çözüm, iki çözüm kümesinin kesişimidir. Her eşitsizliği ayrı çözer, çözümleri aynı sayı doğrusunda çizer, iki taramanın üst üste geldiği bölgeyi alırsın. Örneğin 2x − 1 ≥ 3 ve 5 − x > 0 için x ≥ 2 ve x < 5 bulunur; ortak çözüm [2, 5) aralığıdır.
Taramalar hiç çakışmıyorsa sistemin çözümü yoktur: x > 4 ve x ≤ 1 koşullarını birlikte sağlayan sayı olmadığı için çözüm kümesi boş kümedir.
“Veya” ile bağlı eşitsizlikler
İki eşitsizlik “veya” ile bağlıysa çözüm, iki çözüm kümesinin birleşimidir; sayıların koşullardan en az birini sağlaması yeter. x < −1 veya x ≥ 3 koşulunun çözümü (−∞, −1) ∪ [3, ∞) olur. Bu tür çözümler mutlak değerli eşitsizliklerde de sık karşına çıkar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. −7 < 3x + 2 ≤ 11 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm. Üç taraftan 2 çıkarırız: −9 < 3x ≤ 9. Üç tarafı pozitif 3'e böleriz, yön değişmez: −3 < x ≤ 3. Bu aralıktaki tam sayılar −2, −1, 0, 1, 2, 3'tür. −2 ile 2 ve −1 ile 1 birbirini götürür; toplam 0 + 3 = 3'tür.
Örnek 2. 3x − 2 < 2x + 4 ve 4 − x ≤ 2x − 5 eşitsizliklerini birlikte sağlayan tam sayılar hangileridir?
Çözüm. Birinci eşitsizlik: 3x − 2x < 4 + 2, yani x < 6. İkinci eşitsizlik: 4 + 5 ≤ 2x + x, yani 9 ≤ 3x ve x ≥ 3. “Ve” bağlacı olduğu için kesişimi alırız: 3 ≤ x < 6, yani [3, 6). Bu aralıktaki tam sayılar 3, 4 ve 5'tir.
Sık yapılan hatalar
- İki taraflı eşitsizlikte negatife bölerken yalnızca bir yönü çevirmek.
- “Ve” bağlacında birleşim, “veya” bağlacında kesişim almak.
- 4 ≥ x > −2 gibi ters sırada çıkan sonucu aralık olarak yazarken uçların yerini karıştırmak.
- İki taraflı eşitsizlikte her işlem üç tarafa birden uygulanır.
- “Ve” kesişim, “veya” birleşim demektir.
- Taramalar çakışmıyorsa “ve” sisteminin çözümü boş kümedir.