Konu anlatımı
Eşitsizliklerin çözüm kümeleri genellikle sonsuz sayıda gerçek sayı içerir; bunları tek tek yazamayacağımız için aralık gösterimi kullanırız. Bu alt başlıkta aralık türlerini, sayı doğrusunda gösterimlerini ve aralıklarla küme işlemlerini öğreneceksin.
Aralık türleri
Sayı doğrusunda dahil olan uç dolu nokta, dahil olmayan uç boş (içi beyaz) nokta ile gösterilir ve iki uç arasındaki bölge taranır. ∞ ve −∞ birer sayı değildir; sınırsız devam etmeyi anlattıkları için yanlarında her zaman açık parantez kullanılır.
- Açık aralık (a, b): a < x < b; uçlar dahil değildir.
- Kapalı aralık [a, b]: a ≤ x ≤ b; uçlar dahildir.
- Yarı açık aralıklar: [a, b) için a ≤ x < b, (a, b] için a < x ≤ b.
- Sonsuz aralıklar: x > a için (a, ∞), x ≤ a için (−∞, a]; bütün gerçek sayılar (−∞, ∞).
Aralıktaki tam sayıları saymak
Kapalı aralık [a, b]'de a ve b tam sayıysa b − a + 1 tam sayı vardır; açık uçlar bu sayıdan düşülür. (−3, 4] aralığında −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 7 tam sayı vardır.
Uçlar tam sayı değilse aralığın içinde kalan en yakın tam sayılara geçersin. Uçlarda ondalık sayı varsa ondalık virgülle karışmasın diye uçları noktalı virgülle ayırırız: (−2,5; 3,7) aralığındaki tam sayılar −2'den 3'e kadardır ve 6 tanedir.
Aralıklarda kesişim ve birleşim
Aralıklar birer küme olduğu için kesişim ve birleşim işlemleri yapılabilir. Kesişim, iki koşulu birlikte sağlayan sayılardır ve “ve” bağlacına karşılık gelir; birleşim ise koşullardan en az birini sağlayan sayılardır ve “veya” bağlacına karşılık gelir. İki aralığı aynı sayı doğrusunda üst üste çizmek en güvenli yoldur.
Örneğin A = [−1, 4) ve B = (2, 6] için A ∩ B = (2, 4) ve A ∪ B = [−1, 6] olur. Kesişimde bir uç noktanın dahil olması için iki aralıkta da dahil olması, birleşimde ise en az birinde dahil olması gerekir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A = (−3, 5] ve B = [1, 8) aralıkları veriliyor. A ∩ B ve A ∪ B aralıklarını yazınız; A − B kümesindeki tam sayıları bulunuz.
Çözüm. İki aralığı aynı sayı doğrusunda çizeriz. Ortak bölge 1'den 5'e kadardır; 1, B'de dahil ve A'nın içinde, 5 ise A'da dahil ve B'nin içinde olduğu için A ∩ B = [1, 5] olur. Birleşim −3'ten 8'e kadar uzanır ve iki uç da dahil değildir: A ∪ B = (−3, 8). A − B, A'da olup B'de olmayan sayılardır: (−3, 1). Bu aralıktaki tam sayılar −2, −1 ve 0'dır.
Örnek 2. −7/2 ≤ x < √10 koşulunu sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm. Uçları ondalık olarak düşünürüz: −7/2 = −3,5 ve 3² = 9, 4² = 16 olduğundan √10, 3 ile 4 arasındadır (yaklaşık 3,16). −3,5'ten büyük ya da ona eşit en küçük tam sayı −3, 3,16'dan küçük en büyük tam sayı 3'tür. Tam sayılar −3'ten 3'e kadardır: 3 − (−3) + 1 = 7 tane.
Sık yapılan hatalar
- ∞ yanında köşeli parantez kullanmak.
- Açık uçtaki sayıyı tam sayı sayımına katmak.
- Kesişimde bir aralıkta dahil, öbüründe dahil olmayan uç noktayı dahil saymak.
- ( ) uç dahil değil, [ ] uç dahil.
- [a, b] aralığında a ve b tam sayıysa b − a + 1 tam sayı vardır; açık uçları çıkar.
- Kesişim “ve”, birleşim “veya” bağlacıdır; aralıkları sayı doğrusunda üst üste çizerek bul.