Konu anlatımı
x'in aralığı bilindiğinde x² ya da 1/x için aralık bulmak, toplama ve çarpmadan daha fazla dikkat ister. Çünkü kare alma ve ters çevirme, sayının işaretine ve 0'a göre konumuna bağlı olarak sırayı koruyabilir ya da değiştirebilir.
Kare alma
Pozitif sayılarda kare almak sırayı korur: 2 < x < 5 ise 4 < x² < 25. Negatif sayılarda sırayı ters çevirir, çünkü işaretsiz değeri büyük olanın karesi büyüktür: −5 < x < −2 ise 4 < x² < 25.
Aralık 0'ı içeriyorsa x² en küçük değeri olan 0'ı x = 0'da alır; en büyük değer, işaretsiz değeri büyük olan ucun karesidir. −3 < x ≤ 2 ise alt sınır 0'dır ve dahildir; üst sınır (−3)² = 9'dur ama −3 dahil olmadığı için 9 da dahil değildir: 0 ≤ x² < 9.
Ters çevirme
Aynı işaretli iki sayıdan büyük olanın tersi küçüktür: 0 < a < b ise 1/a > 1/b. Bu yüzden aralığın iki ucu da pozitif ya da iki ucu da negatifse ters çevirince yön değişir: 2 < x < 5 ise 1/5 < 1/x < 1/2; −4 < x < −1 ise −1 < 1/x < −1/4.
Aralık 0'ı içeriyorsa 1/x tek bir aralık oluşturmaz. −2 < x < 3 ve x ≠ 0 ise x negatifken 1/x < −1/2, x pozitifken 1/x > 1/3 olur. Bu durumda sonucu iki parça olarak yazarsın: 1/x < −1/2 veya 1/x > 1/3.
0 ile 1 arasındaki sayılarda sıralama
0 < x < 1 ise x ile çarpmak sayıyı küçültür: x³ < x² < x. Ayrıca √x > x ve 1/x > 1 olur. Örneğin x = 1/4 için x² = 1/16, √x = 1/2 ve 1/x = 4'tür. x > 1 için sıralama tersine döner: x < x² < x³.
−1 < x < 0 için çift kuvvetler pozitif, tek kuvvetler negatiftir ve x < x³ < 0 < x² < 1 sıralaması geçerlidir. Örneğin x = −1/2 için x³ = −1/8 ve x² = 1/4'tür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. −4 ≤ x < 1 olduğuna göre 2x² − 3 ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük değerler kaçtır?
Çözüm. Aralık 0'ı içerdiği için x²'nin en küçük değeri x = 0'da 0'dır. İşaretsiz değeri en büyük uç −4'tür ve dahil olduğu için x² en çok 16 olur; öbür uç 1 dahil değildir ve zaten daha küçük kare verir. Böylece 0 ≤ x² ≤ 16, 2 ile çarpınca 0 ≤ 2x² ≤ 32 ve 3 çıkarınca −3 ≤ 2x² − 3 ≤ 29 bulunur. En küçük değer −3, en büyük değer 29'dur.
Örnek 2. 1 < x < 4 olduğuna göre (x + 2)/x ifadesinin alabileceği değerler hangi aralıktadır?
Çözüm. x ifadede iki yerde geçtiği için önce tek yere toplarız: (x + 2)/x = 1 + 2/x. x'in iki ucu da pozitif olduğu için ters çevirince yön değişir: 1/4 < 1/x < 1. 2 ile çarparız: 1/2 < 2/x < 2. 1 ekleriz: 3/2 < 1 + 2/x < 3. Değerler (3/2, 3) aralığındadır.
Sık yapılan hatalar
- Aralık 0'ı içerirken x²'nin alt sınırını uçlardan birinin karesi sanmak.
- Uçları pozitif bir aralıkta ters çevirirken yönü değiştirmeyi unutmak.
- Aralık 0'ı içerirken 1/x için tek bir aralık yazmak.
- Aralık 0'ı içeriyorsa x²'nin en küçük değeri 0'dır; en büyük değeri işaretsiz değeri büyük olan ucun karesidir.
- Uçları aynı işaretli bir aralıkta 1/x alınınca yön değişir.
- 0 < x < 1 ise x³ < x² < x < √x < 1 < 1/x.