Konu anlatımı
x ve y'nin hangi aralıkta olduğu biliniyorsa 2x − y ya da x·y gibi ifadelerin hangi aralıkta olduğu da bulunabilir. Bu alt başlıkta bu hesabın kurallarını ve en sık yapılan iki hatayı, yani çıkarmada sınırları yanlış eşleştirmeyi ve çarpmada işaretleri gözden kaçırmayı göreceksin. Kurallar, x ile y'nin birbirinden bağımsız seçilebildiği durumlar içindir.
Toplama
a < x < b ve c < y < d ise iki eşitsizlik aynı yönlü olduğu için taraf tarafa toplanır: a + c < x + y < b + d. Katsayılar önce uygulanır: 2 < x < 5 ise 6 < 3x < 15. Toplamın bir ucunun dahil olması için o uca katkı veren iki ucun da dahil olması gerekir; biri açık uçsa toplamda da o uç açık kalır.
Çıkarma
Eşitsizlikler taraf tarafa çıkarılamaz; önce y'nin eşitsizliği −1 ile çarpılır: c < y < d ise −d < −y < −c. Sonra toplanır: a − d < x − y < b − c.
Kısaca farkın alt sınırı, x'in alt sınırından y'nin üst sınırı çıkarılarak; üst sınırı ise x'in üst sınırından y'nin alt sınırı çıkarılarak bulunur. Bu mantıklıdır: farkı en küçük yapmak için x'i küçük, y'yi büyük seçersin.
Çarpma
Sınırlar karışık işaretliyse çarpımın aralığını bulmanın güvenli yolu dört uç çarpımını hesaplamaktır: a·c, a·d, b·c ve b·d. Bunların en küçüğü alt sınır, en büyüğü üst sınırdır. Örneğin −2 < x < 3 ve −1 < y < 4 ise uç çarpımlar 2, −8, −3 ve 12'dir; buna göre −8 < x·y < 12 olur.
x ve y tam sayı olarak verilmişse önce açık uçları içerideki tam sayılara çevirirsin; böylece uç değerler dahil olur ve hesap kolaylaşır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. −2 ≤ x < 3 ve −1 < y ≤ 4 olduğuna göre 2x − y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözüm. Önce katsayıları uygularız: −4 ≤ 2x < 6. y'nin eşitsizliğini −1 ile çarparız, yön değişir: −4 ≤ −y < 1. Taraf tarafa toplarız: −8 ≤ 2x − y < 7. Alt uçta iki uç da dahil olduğu için (x = −2, y = 4) −8 dahildir; üst uçta iki uç da dahil olmadığı için 7 dahil değildir. Aralıktaki tam sayılar −8'den 6'ya kadardır: 6 − (−8) + 1 = 15 tane.
Örnek 2. x ve y tam sayılardır. −3 < x ≤ 2 ve 1 ≤ y < 5 olduğuna göre x·y çarpımının alabileceği en küçük ve en büyük değerler kaçtır?
Çözüm. Tam sayı oldukları için uçları içeri çekeriz: −2 ≤ x ≤ 2 ve 1 ≤ y ≤ 4. Dört uç çarpımı: (−2)·1 = −2, (−2)·4 = −8, 2·1 = 2 ve 2·4 = 8. En küçük değer −8 (x = −2, y = 4), en büyük değer 8'dir (x = 2, y = 4).
Sık yapılan hatalar
- x − y'nin alt sınırını, x'in alt sınırından y'nin alt sınırını çıkararak bulmak.
- Çarpmada yalnızca alt sınırları ve üst sınırları çarpıp dört uç çarpımına bakmamak.
- Tam sayı koşulu varken açık uçları tam sayıya çevirmeden işlem yapmak.
- x + y: alt + alt ve üst + üst.
- x − y: x'in altı − y'nin üstü ile x'in üstü − y'nin altı.
- x·y: dört uç çarpımının en küçüğü ve en büyüğü.
- Tam sayı istendiğinde önce her değişkenin tam sayı uç değerlerini yaz.