Konu anlatımı
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında bir sayıyla ölçer. Hilesiz bir zar atıldığında 6 gelme olasılığı 1/6'dır; bu, çok sayıda atışta sonuçların yaklaşık altıda birinin 6 olacağı anlamına gelir. Olasılık düşüncesinin kökleri El Kindî'nin harf sıklıklarını sayarak yaptığı çalışmalara kadar uzanır; klasik olasılık tanımı ise Laplace ile bugünkü biçimini almıştır.
Bu sayfada deney, çıktı, örnek uzay ve olay kavramlarını, eş olası ve eş olası olmayan durumlarda olasılık hesabını, tümleyen ile ayrık ve ayrık olmayan olayları ve zar, para, torba ve sayı problemlerini göreceksin. Sayma yöntemlerinin ayrıntısı Permütasyon ve Kombinasyon sayfasındadır. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Deney, örnek uzay ve olay
Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen işleme deney, deneyin her olası sonucuna çıktı denir. Bütün çıktıların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir; örnek uzayın her alt kümesi bir olaydır. Bir zar atıldığında E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur ve “çift sayı gelmesi” olayı A = {2, 4, 6} kümesidir. E olayına kesin olay, ∅ olayına imkânsız olay denir.
Olasılığın hesaplanması
Bütün çıktılar eşit şanslıysa, yani eş olasıysa, bir A olayının olasılığı P(A) = s(A)/s(E) olur. Zar örneğinde P(A) = 3/6 = 1/2'dir. Her olay için 0 ≤ P(A) ≤ 1, kesin olay için P(E) = 1 ve imkânsız olay için P(∅) = 0 olur. Çıktılar eşit şanslı değilse her çıktıya kendi olasılığı verilir ve olayın olasılığı, içindeki çıktıların olasılıklarının toplamıdır.
Tümleyen ve ayrık olaylar
A olayının gerçekleşmemesi A' tümleyen olayıdır ve P(A') = 1 − P(A) olur. “En az bir” içeren olayların olasılığı çoğu zaman tümleyenden kolay bulunur. Ortak çıktısı olmayan olaylara ayrık olaylar denir ve P(A ∪ B) = P(A) + P(B) olur. Ayrık olmayan olaylarda ortak çıktılar iki kez sayılmamalıdır: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
İki aşamalı deneyler
İki zar atmak ya da torbadan art arda iki top çekmek gibi deneylerde örnek uzay çarpma yöntemiyle sayılır. İki zar atıldığında 6·6 = 36 eş olası sıralı çıktı vardır. 5 topluk bir torbadan geri koymadan art arda iki top çekilirse 5·4 = 20 sıralı çıktı, aynı anda iki top çekilirse C(5, 2) = 10 seçim vardır. İki sayım da aynı olasılıkları verir; yeter ki pay ve payda aynı yolla sayılsın.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. İki zar atılıyor. Üst yüzlere gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Örnek uzayda 6·6 = 36 eş olası sıralı çıktı vardır. Toplamı 8 olan çıktılar (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) ve (6, 2)'dir; 5 tanedir. Olasılık 5/36'dır. (3, 5) ile (5, 3) farklı çıktılardır; zarları farklı renklerde düşünmek bunu görmeyi kolaylaştırır.
Örnek 2. Bir torbada 4 kırmızı ve 3 beyaz top vardır. Torbadan aynı anda 2 top çekiliyor. İki topun da aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Aynı anda çekilen toplarda sıra yoktur: örnek uzay C(7, 2) = 21 elemanlıdır. İki topun da kırmızı olması C(4, 2) = 6, ikisinin de beyaz olması C(3, 2) = 3 çıktıyla gerçekleşir; bu iki durum ayrıktır. Olasılık (6 + 3)/21 = 9/21 = 3/7'dir.
Örnek 3. 1'den 20'ye kadar numaralanmış 20 karttan rastgele biri çekiliyor. Karttaki sayının 3'ün ya da 4'ün katı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. 3'ün katları 6 tane, 4'ün katları 5 tanedir. İki olay ayrık değildir: hem 3'ün hem 4'ün katı olan 12 iki kez sayılmıştır. Uygun çıktı sayısı 6 + 5 − 1 = 10'dur. Olasılık 10/20 = 1/2 olur.
Örnek 4. Hilesiz bir madeni para 3 kez atılıyor. En az bir kez yazı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm. Örnek uzayda 2³ = 8 eş olası çıktı vardır. “En az bir yazı” olayının tümleyeni “hiç yazı gelmemesi”, yani TTT çıktısıdır ve olasılığı 1/8'dir. İstenen olasılık 1 − 1/8 = 7/8'dir.
Sık yapılan hatalar
- Eş olası olmayan çıktıları eş olası saymak: iki zarın 2'den 12'ye kadar toplamlarını eşit şanslı sanmak.
- İki zar atışında (2, 5) ile (5, 2) çıktılarını tek çıktı saymak.
- Ayrık olmayan olaylarda P(A ∪ B) hesaplarken ortak çıktıları çıkarmamak.
- Pay ile paydayı farklı yollarla saymak: paydada sıralı, payda sırasız sayım yapmak.
- 1'den büyük ya da negatif bir olasılık bulup sonucu kontrol etmemek.
- Çıktılar eş olasıysa P(A) = s(A)/s(E).
- 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(E) = 1 ve P(∅) = 0.
- P(A') = 1 − P(A); “en az bir” için tümleyeni kullan.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); olaylar ayrıksa son terim 0'dır.
- İki zarda 36, üç para atışında 8 eş olası çıktı vardır.