Konu anlatımı
İstatistik, verileri toplama, düzenleme, özetleme ve yorumlama bilimidir. Bir sınıfın not ortalaması, bir şehrin günlük sıcaklıklarının ortancası ya da bir mağazada en çok satılan ayakkabı numarası, büyük veri gruplarını tek bir sayıyla özetler. Bu özet sayılara merkezî eğilim ölçüleri, verilerin ne kadar dağınık olduğunu gösteren sayılara yayılım ölçüleri denir.
Bu sayfada veri türlerini, aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri, açıklık ve standart sapmayı, veri eklenince ya da dönüştürülünce bu ölçülerin nasıl değiştiğini, frekans tablosu ve histogram oluşturmayı göreceksin. Grafik ve tablo okuma soruları Grafik ve Tablo Problemleri sayfasında ayrıca ele alınıyor. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Veri türleri
Sayıyla ifade edilen verilerden sayılarak elde edilen, ayrı ayrı değerler alanlara kesikli veri, ölçülerek elde edilen ve bir aralıktaki her değeri alabilenlere sürekli veri denir: bir ailedeki çocuk sayısı kesikli, bir öğrencinin boyu süreklidir. Bir veri grubundaki en büyük ve en küçük değer, verilerin hangi aralığa yayıldığını gösterir.
Merkezî eğilim ölçüleri
2, 3, 3, 5, 7, 10 verileri için ortalama 30/6 = 5, ortanca (3 + 5)/2 = 4, tepe değer 3'tür. Uç değerler ortalamayı ortancadan çok daha fazla etkiler; bu yüzden gelir gibi birkaç çok büyük değer içeren verilerde ortanca çoğu zaman daha iyi bir özettir.
- Aritmetik ortalama: verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür.
- Ortanca (medyan): veriler sıralandığında tam ortadaki değerdir; veri sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalamasıdır.
- Tepe değer (mod): en çok tekrar eden değerdir; birden çok tepe değer olabilir ya da hiç olmayabilir.
Yayılım ölçüleri
Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösterir ve programda en fazla beş verili gruplarda hesaplanır: her verinin ortalamadan farkının karesi alınır, bu kareler toplanır, toplam veri sayısının bir eksiğine bölünür ve sonucun karekökü alınır. Standart sapma küçükse veriler ortalama çevresinde toplanmıştır.
Ölçülerin değişimi
Her veriye aynı c sayısı eklenirse ortalama, ortanca ve tepe değer c kadar artar; açıklık ve standart sapma değişmez. Her veri aynı pozitif k sayısıyla çarpılırsa bütün bu ölçüler k ile çarpılır. Gruba yeni bir veri eklenince ortalama, yeni veri ortalamadan büyükse artar, küçükse azalır, eşitse değişmez.
Frekans tablosu ve histogram
Çok sayıda veri, her değerin kaç kez tekrar ettiğini gösteren frekans tablosuyla özetlenir. Çok farklı değerli ya da sürekli veriler gruplara ayrılır ve histogramla gösterilir. Grup genişliği, açıklığın grup sayısına bölümünden büyük olan en küçük doğal sayı olarak seçilir. Program çeyrekler açıklığına, serpme ve kutu grafiklerine girmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir sınıftaki 20 öğrencinin not ortalaması 64 olarak hesaplanmıştır. Daha sonra notlardan birinin 85 yerine yanlışlıkla 65 yazıldığı anlaşılıp düzeltiliyor. Düzeltilmiş ortalama kaçtır?
Çözüm. Hatalı toplam 20·64 = 1280'dir. Düzeltmeyle toplam 85 − 65 = 20 artar ve 1300 olur. Düzeltilmiş ortalama 1300/20 = 65'tir. Kısaca: toplam 20 arttığı için ortalama 20/20 = 1 artar.
Örnek 2. Beş tam sayıdan oluşan bir veri grubunun ortalaması 15, ortancası 14, açıklığı 16'dır ve grubun tek tepe değeri 10'dur. Bu gruptaki en büyük ikinci sayı kaçtır?
Çözüm. Sayılar sıralı olarak a ≤ b ≤ 14 ≤ d ≤ e olsun. Tepe değer 10 en az iki kez geçmeli ve 14'ten küçük olduğu için a = b = 10 olmalıdır. Açıklıktan e = 10 + 16 = 26 bulunur. Toplam 5·15 = 75 olduğundan d = 75 − 10 − 10 − 14 − 26 = 15'tir. Değerler 10, 10, 14, 15, 26 olur ve 10 gerçekten tek tepe değerdir.
Örnek 3. 2, 4, 6, 8 ve 10 verilerinin standart sapması kaçtır?
Çözüm. Ortalama 30/5 = 6'dır. Verilerin ortalamadan farkları −4, −2, 0, 2 ve 4'tür; kareleri 16, 4, 0, 4 ve 16, toplamları 40'tır. Toplam veri sayısının bir eksiğine bölünür: 40/4 = 10. Standart sapma √10, yani yaklaşık 3,16'dır.
Örnek 4. Bir veri grubunun ortalaması 12, ortancası 11 ve açıklığı 10'dur. Gruptaki her sayı 3 ile çarpılıp 2 çıkarılarak yeni bir veri grubu oluşturuluyor. Yeni grubun ortalaması, ortancası ve açıklığı kaçtır?
Çözüm. Her veri x yerine 3x − 2 olur. Ortalama ve ortanca aynı kuralla dönüşür: 3·12 − 2 = 34 ve 3·11 − 2 = 31. Açıklık iki verinin farkı olduğu için 2 çıkarılmasından etkilenmez, yalnızca 3 ile çarpılır: 3·10 = 30.
Sık yapılan hatalar
- Ortancayı bulmadan önce verileri sıralamamak.
- Veri sayısı çiftken ortadaki iki değerden birini ortanca saymak.
- Frekans tablosunda verilerin toplamı yerine frekansların toplamını almak; verilerin toplamı değer·frekans çarpımlarının toplamıdır.
- Her veriye sabit eklenince açıklığın ve standart sapmanın da değiştiğini sanmak.
- Standart sapmada kareler toplamını veri sayısına bölmek; kareler toplamı veri sayısının bir eksiğine bölünür.
- Toplam = ortalama·veri sayısı; sorularda önce toplamı bul.
- Ortanca için önce sırala; çift sayıda veride ortadaki iki değerin ortalamasını al.
- Tepe değer en çok tekrar eden değerdir.
- Açıklık = en büyük değer − en küçük değer.
- Sabit eklemek yalnızca merkezî ölçüleri, pozitif bir sabitle çarpmak bütün ölçüleri değiştirir.