Konu anlatımı
Bir veri grubuna yeni değerler eklendiğinde ya da bütün veriler aynı kurala göre değiştirildiğinde ölçüleri baştan hesaplamak gerekmez. Bu alt başlıkta veri eklemenin ve doğrusal dönüşümlerin ortalama, ortanca, tepe değer, açıklık ve standart sapmayı nasıl değiştirdiğini göreceksin.
Veri ekleme ve çıkarma
Ortalaması m olan n verili bir gruba yeni bir değer eklenirse yeni toplam n·m ile yeni değerin toplamı olur. Yeni değer m'den büyükse ortalama artar, küçükse azalır, m'ye eşitse değişmez. Yaş ortalaması 24 olan 10 kişilik bir gruba 2 kişi katılınca ortalama 25 oluyorsa katılanların yaşları toplamı 12·25 − 10·24 = 60, ortalamaları 30'dur.
Ortanca ve tepe değer de eklenen değere göre değişebilir; bu ölçüler sıralama ve sayma yeniden yapılarak bulunur.
Her veriye sabit eklemek
Her veriye aynı c sayısı eklenirse bütün değerler c kadar kayar. Ortalama, ortanca ve tepe değer c kadar artar. Açıklık değişmez, çünkü en büyük ve en küçük değer aynı miktarda artar. Standart sapma da değişmez, çünkü her verinin ortalamadan farkı aynı kalır. Bir sınavda herkese 5 puan eklenirse ortalama 5 artar ama notların dağınıklığı değişmez.
Verileri sabitle çarpmak
Her veri aynı pozitif k sayısıyla çarpılırsa ortalama, ortanca, tepe değer, açıklık ve standart sapmanın hepsi k ile çarpılır. Her veri x yerine kx + c olursa merkezî ölçüler aynı kuralla dönüşür; açıklık ve standart sapma ise yalnızca k ile çarpılır, c'den etkilenmez. k negatifse merkezî ölçüler yine k ile çarpılır ama açıklık ve standart sapma k'nin mutlak değeriyle çarpılır.
10'luk sistemdeki puanlar 10 ile çarpılıp 20 eklenerek 100'lük sisteme çevrilirse ortalaması 6,3 olan bir grubun yeni ortalaması 10·6,3 + 20 = 83, açıklığı 4 olan bir grubun yeni açıklığı 40 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Ortalaması 40 olan 16 sayılık bir gruptan 10 sayısı çıkarılırsa kalan sayıların ortalaması kaç olur?
Çözüm. 16 sayının toplamı 16·40 = 640'tır. 10 çıkarılınca toplam 630, sayı adedi 15 olur. Yeni ortalama 630/15 = 42'dir. Ortalamadan küçük bir değer çıkarıldığı için ortalama artmıştır.
Örnek 2. Bir veri grubunun ortalaması 20, ortancası 18, tepe değeri 15, açıklığı 12 ve standart sapması 4'tür. Her veri 2 ile çarpılıp 5 çıkarılırsa yeni grubun bu ölçüleri ne olur?
Çözüm. Her veri x yerine 2x − 5 olur. Merkezî ölçüler aynı kuralla dönüşür: ortalama 2·20 − 5 = 35, ortanca 2·18 − 5 = 31, tepe değer 2·15 − 5 = 25. Açıklık ve standart sapma yalnızca 2 ile çarpılır, 5 çıkarılması onları etkilemez: açıklık 24, standart sapma 8 olur.
Sık yapılan hatalar
- Her veriye sabit eklenince açıklığın ve standart sapmanın da değiştiğini sanmak.
- kx + c dönüşümünde açıklığa ya da standart sapmaya c'yi de eklemek.
- Gruba veri eklenince yeni ortalamayı iki ortalamanın ortalaması sanmak.
- Yeni toplam = eski toplam + eklenen değerler.
- Sabit eklemek merkezî ölçüleri kaydırır; açıklık ve standart sapma değişmez.
- Pozitif k ile çarpmak bütün ölçüleri k ile çarpar.