Konu anlatımı
Yaş problemleri, kişilerin bugünkü, geçmişteki ve gelecekteki yaşları arasındaki ilişkileri anlatır ve birkaç sağlam gözleme dayanır. Zaman herkes için aynı hızla akar: 5 yıl geçince herkes 5 yaş büyür. Bu basit gerçekten iki güçlü sonuç çıkar: İki kişinin yaş farkı hiç değişmez ve bir grubun yaş toplamı, geçen süre ile kişi sayısının çarpımı kadar artar.
Bu sayfada yaş problemlerini tabloyla düzenlemeyi, yaş farkını ve yaş toplamını kullanmayı ve oranlı yaş sorularını göreceksin. “Ben senin yaşındayken” soruları, doğum yılı problemleri ve yaş ortalaması alt başlıklarda ayrıntılı olarak ele alınıyor.
Zaman herkese aynı işler
Bugün x yaşında olan biri t yıl sonra x + t, t yıl önce x − t yaşındadır. Bu yüzden bir problemdeki herkesin yaşı aynı sürede aynı miktarda değişir. Bilgileri “önce, şimdi, sonra” sütunlarından oluşan bir tabloya yazmak, hangi yaşın hangi zamana ait olduğunu karıştırmanı önler. Her satıra bir kişiyi, her sütuna bir zamanı yazar ve verilen ilişkileri bu tablodan denkleme çevirirsin.
Yaş farkı değişmez
Ali 12, annesi 38 yaşındaysa aralarındaki fark 26'dır. 10 yıl sonra Ali 22, annesi 48 yaşında olur ve fark yine 26'dır. Fark sabit olduğu için “annesi Ali'nin yaşındayken” gibi ifadelerde annenin 26 yıl önceki hâli konuşuluyordur. Yaş farkı oranlı sorularda da işini kolaylaştırır: Oran zamanla değişir, ama fark değişmez.
Yaş toplamı nasıl değişir?
n kişiden oluşan bir grubun yaşları toplamı t yıl sonra n·t artar, t yıl önce n·t azdır. Üç kardeşin yaşları toplamı bugün 30 ise 4 yıl sonra 30 + 3·4 = 42 olur. Geçmişe giderken dikkat et: O tarihte henüz doğmamış biri varsa onun yaşı toplamdan düşülemez, çünkü yaş negatif olamaz; o kişi o tarihteki toplama hiç katılmaz.
Oranlı yaş soruları
“Babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır” bilgisi oğlun yaşını 1 parça, babanın yaşını 4 parça yapar ve fark 3 parçadır. Başka bir zamandaki oran da verilmişse bugünkü yaşlara x ve 4x der, o zamandaki yaşları tabloya yazıp oranı denkleme çevirirsin. İstersen iki durumdaki farkı aynı parça sayısına eşitleyerek denklem kurmadan da çözebilirsin.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir annenin yaşı kızının yaşının 3 katıdır. 12 yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 2 katı olacaktır. Anne bugün kaç yaşındadır?
Çözüm. Kızın bugünkü yaşına x dersek anne 3x yaşındadır. 12 yıl sonra kız x + 12, anne 3x + 12 yaşında olur ve 3x + 12 = 2(x + 12) yazılır. Buradan 3x + 12 = 2x + 24 ve x = 12 bulunur. Anne bugün 36 yaşındadır. Kontrol: 12 yıl sonra 48 = 2·24.
Örnek 2. Üç kardeşin bugünkü yaşları toplamı 36'dır. En küçükleri 4 yaşında, diğer ikisi 10 yaşından büyüktür. 5 yıl önce bu kardeşlerin yaşları toplamı kaçtı?
Çözüm. 5 yıl önce en küçük kardeş henüz doğmamıştı; o tarihteki toplama katılmaz. Diğer iki kardeşin bugünkü yaşları toplamı 36 − 4 = 32'dir ve ikisi de 5 yıl önce doğmuştu. 5 yıl önce bu ikisinin yaşları toplamı 32 − 2·5 = 22'dir. 36 − 3·5 = 21 cevabı yanlıştır, çünkü doğmamış kardeşin yaşı −1 alınmış olur.
Örnek 3. Bir babanın yaşı 46, oğlununki 18'dir. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olur?
Çözüm. t yıl sonra yaşlar 46 + t ve 18 + t olur: 46 + t = 2(18 + t), yani 46 + t = 36 + 2t ve t = 10. Yaş farkıyla da düşünebilirsin: Fark her zaman 28'dir. Baba oğlunun 2 katı yaşındayken baba 2 parça, oğul 1 parça ve fark 1 parçadır; o zaman oğul 28 yaşında olur. Oğul 18 yaşında olduğuna göre bu 10 yıl sonradır.
Örnek 4. Bir anne ile iki çocuğunun yaşları toplamı 70'tir. 6 yıl sonra annenin yaşı, çocuklarının o zamanki yaşları toplamına eşit olacaktır. Anne bugün kaç yaşındadır?
Çözüm. Annenin yaşına a, çocukların yaşları toplamına c deriz: a + c = 70. 6 yıl sonra anne a + 6 yaşında olur; iki çocuğun yaşları toplamı ise 2·6 = 12 artarak c + 12 olur. a + 6 = c + 12'den a − c = 6 bulunur. İki denklemi toplayınca 2a = 76 ve a = 38'dir.
Sık yapılan hatalar
- Zaman geçtikçe yaş farkının da değiştiğini sanmak.
- n kişinin yaş toplamının t yılda yalnızca t arttığını düşünmek; artış n·t'dir.
- Geçmişe giderken o tarihte doğmamış kişilerin yaşını toplamdan düşmek.
- Oranın zamanla korunduğunu sanmak: bugün 3 katı olan yaş, ileride 3 katı olmaz.
- Farklı zamanlara ait yaşları aynı denklemde karıştırmak.
- Herkesin yaşı aynı sürede aynı miktarda değişir.
- İki kişinin yaş farkı her zaman aynıdır.
- n kişinin yaş toplamı t yıl sonra n·t artar.
- Geçmişte henüz doğmamış kişiyi toplamdan ayrı düşün.
- Bilgileri önce, şimdi ve sonra sütunlarıyla bir tabloya yaz.