Konu anlatımı
Çarpanlara ayırma, bir toplamı çarpım biçiminde yazmaktır: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) gibi. Bunu çarpma işleminin tersi olarak düşünebilirsin; çarpmada parantezleri açarsın, çarpanlara ayırmada parantezleri geri kurarsın. Bu beceri kesirli ifadeleri sadeleştirmek, denklemleri çözmek ve uzun sayısal işlemleri kısaltmak için kullanılır.
Bu sayfada yöntemleri kullanım sırasıyla göreceksin: önce ortak çarpan, sonra özdeşlikler, sonra üç terimliler. Her yöntemin ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Ortak çarpan ve gruplandırma
Bir ifadenin bütün terimlerinde ortak olan çarpan parantez dışına alınır: 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3). Ortak çarpanı bulmak için katsayıların EBOB'unu ve her harfin en küçük kuvvetini alırsın. Her soruda ilk adım budur.
Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa terimler ikişerli gruplanır: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b). Gruplamadan sonra ortaya çıkan aynı parantez, ikinci bir ortak çarpan olarak dışarı alınır.
Temel özdeşlikler
Özdeşlik, değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliktir. Aşağıdakilerin hepsini parantezleri açarak doğrulayabilirsin; örneğin (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b².
- İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b).
- Tam kare: a² + 2ab + b² = (a + b)² ve a² − 2ab + b² = (a − b)².
- İki terimin küpü: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ve (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
- Küpler toplamı ve farkı: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) ve a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
ax² + bx + c biçimindeki üç terimliler
x² + bx + c biçiminde çarpımı c, toplamı b olan iki sayı aranır: x² + 5x + 6 için çarpımı 6, toplamı 5 olan sayılar 2 ve 3'tür, yani x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
Baş katsayı 1'den farklıysa çarpımı a·c, toplamı b olan iki sayı bulunur, orta terim bu sayılara bölünür ve gruplandırılır: 2x² + 7x + 3 için a·c = 6 olduğundan 6 ve 1 kullanılır: 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
Değişken değiştirme ve sadeleştirme
Tekrar eden bir ifade yeni bir harfle gösterilirse karmaşık ifade bilinen bir kalıba döner. (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 ifadesinde x² + x = t dersen t² − 8t + 12 = (t − 2)(t − 6) olur. Geri yazınca (x² + x − 2)(x² + x − 6) = (x + 2)(x − 1)(x + 3)(x − 2) elde edilir.
Rasyonel ifadeleri sadeleştirmek için pay ve payda çarpanlarına ayrılır, ortak çarpanlar sadeleştirilir: (x² − 4)/(x² + 2x) = (x − 2)(x + 2)/(x(x + 2)) = (x − 2)/x. İlk ifade, sadeleşen çarpanı ve paydayı sıfır yapan değerlerde (x = −2 ve x = 0) tanımsızdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − y² = 24 ve x + y = 6 olduğuna göre x − y kaçtır?
Çözüm. İki kare farkını kullanırız: x² − y² = (x − y)(x + y). Verilenleri yerine koyunca (x − y)·6 = 24 olur. Buradan x − y = 4 bulunur.
Örnek 2. a + b = 7 ve a·b = 10 olduğuna göre a² + b² kaçtır?
Çözüm. Tam kare açılımından (a + b)² = a² + 2ab + b² yazarız. Buradan a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29 bulunur. Kontrol: a ve b, 2 ile 5'tir ve 4 + 25 = 29.
Örnek 3. (x² − 9)/(x² + x − 6) ifadesinin en sade biçimi nedir?
Çözüm. Pay iki kare farkıdır: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Paydada çarpımı −6, toplamı 1 olan sayılar 3 ve −2'dir: x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2). Ortak çarpan x + 3 sadeleşir ve ifade (x − 3)/(x − 2) olur (x ≠ −3, x ≠ 2).
Örnek 4. 1001² − 999² işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Kareleri hesaplamak yerine iki kare farkını kullanırız: 1001² − 999² = (1001 − 999)(1001 + 999) = 2·2000 = 4000.
Sık yapılan hatalar
- (a + b)² = a² + b² sanmak; ortadaki 2ab terimi unutulur.
- a² + b² ifadesini (a + b)(a − b) gibi ayırmaya çalışmak; iki kare toplamı gerçek sayılarda bu biçimde ayrılmaz.
- Sadeleştirmede toplam içindeki terimleri silmek: (x + 3)/3 ifadesinde 3'leri silip x bulmak.
- Ortak çarpanı dışarı alırken bir terimin yerine 1 yazmayı unutmak: x² + x = x(x + 1)'dir, x·x değildir.
- Küpler toplamını (a + b)³ ile karıştırmak.
- İlk adım her zaman ortak çarpan parantezidir.
- a² − b² = (a − b)(a + b) ve (a ± b)² = a² ± 2ab + b².
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) ve a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- x² + bx + c için çarpımı c, toplamı b olan iki sayıyı bul.
- Sadeleştirmeden önce pay ve paydayı çarpanlarına ayır; yalnızca çarpanlar sadeleşir.