Konu anlatımı
İki küpün toplamı ya da farkı iki çarpana ayrılır: bir iki terimli ve bir üç terimli. Bu alt başlıkta özdeşlikleri, işaretlerin nasıl belirlendiğini ve bu özdeşliklerin kesirli ifadeleri sadeleştirmede nasıl kullanıldığını göreceksin.
Özdeşlikler
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) ve a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)'dir. Sağ tarafı dağıtarak doğrulayabilirsin: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.
İşaret düzenini şöyle hatırlarsın: birinci çarpan asıl ifadenin işaretini taşır, ikinci çarpanın orta terimi bunun tersidir, ikinci çarpanın son terimi her zaman pozitiftir. Fark için (a − b)(a² + ab + b²), toplam için (a + b)(a² − ab + b²).
Kullanım
İfadedeki iki terimi küp olarak görmek gerekir: x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) ve 27y³ + 1 = (3y)³ + 1³ = (3y + 1)(9y² − 3y + 1). İkinci çarpandaki üç terimli gerçek sayılarda daha fazla çarpanlara ayrılmaz; onu tam kare açılımıyla karıştırma, orta teriminde 2 katsayısı yoktur.
Önce ortak çarpan almayı unutma: 2x⁴ − 16x = 2x(x³ − 8) = 2x(x − 2)(x² + 2x + 4).
Sadeleştirme ve sayısal hesap
Kesirli ifadelerde bu özdeşlikler pay ya da paydadaki gizli çarpanları ortaya çıkarır: (x³ − 1)/(x − 1) = (x − 1)(x² + x + 1)/(x − 1) = x² + x + 1 (x ≠ 1).
Sayısal hesaplarda da işe yarar: (13³ + 7³)/20 işleminde 13³ + 7³ = (13 + 7)(13² − 13·7 + 7²) yazılır. 20'ler sadeleşir ve sonuç 169 − 91 + 49 = 127 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (x³ + 27)/(x² − 3x + 9) ifadesinin en sade hâli nedir?
Çözüm. Pay iki küp toplamıdır: x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² − 3x + 9). Paydadaki x² − 3x + 9 ifadesi bu açılımın ikinci çarpanıdır ve sadeleşir. Sonuç x + 3'tür. x² − 3x + 9 hiçbir gerçek x için sıfır olmadığından ek bir tanım koşulu çıkmaz.
Örnek 2. a − b = 3 ve ab = 1 olduğuna göre a³ − b³ kaçtır?
Çözüm. a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) yazarız. İkinci çarpanı verilenlerle hesaplarız: a² + ab + b² = (a − b)² + 3ab = 9 + 3 = 12. Sonuç 3·12 = 36'dır. Aynı sonuca (a − b)³ + 3ab(a − b) = 27 + 9 = 36 eşitliğiyle de ulaşırsın.
Sık yapılan hatalar
- İkinci çarpanın orta terimini 2ab yazmak; doğrusu ab'dir.
- a³ + b³'ün ikinci çarpanında orta terimi +ab almak; toplamda orta terim −ab'dir.
- a² + ab + b² ifadesini yeniden çarpanlarına ayırmaya çalışmak.
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
- İkinci çarpanın orta terimi ab'dir ve işareti birinci çarpanın işaretinin tersidir; son terim hep +b²'dir.