İki Kare Farkı

Konu anlatımı

İki kare farkı, en sık kullanılan özdeşliktir: bir karenin başka bir kareden farkı, tabanların farkı ile toplamının çarpımına eşittir. Bu alt başlıkta özdeşliği, ifadede gizli kareleri görmeyi ve özdeşliğin sayısal hesaplarda nasıl zaman kazandırdığını göreceksin.

Özdeşlik ve nedeni

a² − b² = (a − b)(a + b)'dir. Sağ tarafı dağıtınca a² + ab − ab − b² = a² − b² elde edilir; ortadaki terimler birbirini götürür.

Özdeşliği kullanmak için ifadenin iki terimini birer kare olarak görmen gerekir: 9x² − 25 = (3x)² − 5² = (3x − 5)(3x + 5) ve x⁴ − 16y² = (x²)² − (4y)² = (x² − 4y)(x² + 4y). Katsayılar da kare olarak düşünülmelidir; 9x² terimi (3x)²'dir, 9x'in karesi değildir.

Art arda uygulama ve önce ortak çarpan

Çarpanlardan biri yine iki kare farkıysa özdeşlik yeniden uygulanır: x⁴ − 81 = (x² − 9)(x² + 9) = (x − 3)(x + 3)(x² + 9). x² + 9 gibi iki kare toplamları gerçek sayılarda daha fazla çarpanlara ayrılmaz.

Önce ortak çarpan alınırsa gizli bir iki kare farkı ortaya çıkabilir: 2x³ − 50x = 2x(x² − 25) = 2x(x − 5)(x + 5). Tabanlar birer ifade de olabilir: (a + 1)² − (a − 2)² = [(a + 1) − (a − 2)]·[(a + 1) + (a − 2)] = 3(2a − 1).

Sayısal kullanım

Büyük sayıların kareleri arasındaki farkı hesaplarken özdeşlik işi kısaltır: 73² − 27² = (73 − 27)(73 + 27) = 46·100 = 4600. Bir sayıya eşit uzaklıktaki iki sayının çarpımı da bu yolla kolayca hesaplanır: 48·52 = (50 − 2)(50 + 2) = 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• a² + b² ifadesini (a + b)(a − b) biçiminde ayırmak.
• Katsayıların karesini almayı unutmak: 9x² − 25'i (9x − 5)(9x + 5) diye yazmak.
• Art arda uygulamada ayırmayı yarım bırakmak: x⁴ − 81 = (x² − 9)(x² + 9) deyip durmak.