Konu anlatımı
Bir iki terimlinin küpü dört terimli bir ifade verir ve katsayılar belirli bir düzen izler. Bu alt başlıkta (a + b)³ ve (a − b)³ açılımlarını, bunları tersinden tanımayı ve toplam-çarpım bilgisiyle küp toplamlarını hesaplamayı göreceksin.
Açılımlar ve katsayı düzeni
(a + b)³ = (a + b)²·(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) çarpımı dağıtılınca a³ + 3a²b + 3ab² + b³ elde edilir. (a − b)³ için b yerine −b yazılır: a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Katsayılar 1, 3, 3, 1'dir; a'nın kuvveti 3'ten 0'a azalırken b'nin kuvveti 0'dan 3'e artar. Farkın küpünde işaretler +, −, +, − diye sıralanır.
Örneğin (x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8 ve (2x − 1)³ = 8x³ − 12x² + 6x − 1 olur.
Tam küpü tanımak
Dört terimli bir ifadenin tam küp olması için ilk ve son terimin küp olması, ortadaki terimlerin de 3a²b ve 3ab² kalıbına uyması gerekir. x³ − 9x² + 27x − 27 ifadesinde x³ ve 27 = 3³ küptür; 3·x²·3 = 9x² ve 3·x·3² = 27x olduğundan ifade (x − 3)³'tür. İşaretlerin +, −, +, − sırasında olması farkın küpü olduğunu gösterir.
Toplam ve çarpımla küp hesabı
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) biçiminde de yazılabilir. Buradan a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) ve a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b) bulunur. a + b = 4 ve ab = 3 ise a³ + b³ = 64 − 3·3·4 = 28 olur; gerçekten a ile b, 1 ve 3'tür ve 1 + 27 = 28'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x − y = 2 ve xy = 15 olduğuna göre x³ − y³ kaçtır?
Çözüm. x³ − y³ = (x − y)³ + 3xy(x − y) eşitliğini kullanırız: 2³ + 3·15·2 = 8 + 90 = 98. Kontrol: x = 5, y = 3 koşulları sağlar ve 125 − 27 = 98'dir.
Örnek 2. x³ + 6x² + 12x + 8 = 125 olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm. Sol taraf bir tam küptür: x³ ve 8 = 2³ küptür, 3·x²·2 = 6x² ve 3·x·2² = 12x'tir. Buna göre ifade (x + 2)³'tür ve (x + 2)³ = 125 = 5³ olur. Gerçek sayılarda küpü 125 olan tek sayı 5 olduğundan x + 2 = 5 ve x = 3'tür.
Sık yapılan hatalar
- (a + b)³ = a³ + b³ sanmak.
- Katsayıları kare açılımındaki gibi 1, 2, 1 almak; küpte katsayılar 1, 3, 3, 1'dir.
- (a − b)³ açılımında işaretleri yanlış dağıtmak; doğru sıra +, −, +, −'dir.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
- a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b).