Konu anlatımı
a negatif olmayan bir sayı olmak üzere karesi a olan negatif olmayan sayıya a'nın karekökü denir ve √a ile gösterilir: √49 = 7, çünkü 7² = 49. Benzer biçimde küpü a olan sayı a'nın küpköküdür: ∛8 = 2. Kök almak üs almanın tersidir ve √2, √3 gibi irrasyonel sayıları tam olarak yazmanın yoludur.
Bu sayfada kök kavramını, köklü sayıların özelliklerini ve işlem kurallarını, kuralların üslü sayılarla bağlantısını göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Kök kavramı ve tanım koşulu
n ≥ 2 tam sayı olmak üzere xⁿ = a eşitliğini sağlayan sayıya a'nın n. dereceden kökü denir ve ⁿ√a ile gösterilir. Çift dereceli köklerde (√, ∜, ...) kökün içi negatif olamaz, çünkü hiçbir gerçek sayının çift kuvveti negatif değildir; sonuç da negatif olmayan sayı olarak alınır. Tek dereceli köklerde (∛, ⁵√, ...) içi negatif olabilir: ∛(−8) = −2.
Bu tanımdan önemli bir sonuç çıkar: √(x²) = |x|. Örneğin √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|. Tek dereceli köklerde ise ∛(x³) = x'tir.
Kök dışına çıkarma ve kök içine alma
a ve b negatif olmayan sayılar için √(a·b) = √a·√b'dir. Bu yüzden kök içindeki sayının tam kare çarpanı dışarı çıkarılabilir: √72 = √(36·2) = 6√2. Tersine, kök dışındaki pozitif bir katsayı karesi alınarak içeri alınır: 3√5 = √(9·5) = √45. Küpkökte tam küp çarpanlar dışarı çıkar: ∛54 = ∛(27·2) = 3∛2.
Köklü sayılarla dört işlem
Toplama ve çıkarmada yalnızca kök derecesi ve kök içi aynı olan terimler birleşir: 3√2 + 5√2 = 8√2. Bunun için önce kökler sadeleştirilir: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3. √2 + √3 ise daha fazla sadeleşmez ve √5'e eşit değildir.
Çarpma ve bölmede aynı dereceli köklerin içleri birleştirilir: √6·√3 = √18 = 3√2 ve √50/√2 = √25 = 5. Dereceler farklıysa önce üslü gösterimle ortak dereceye getirilir.
Üslü gösterim
a pozitif, m ve n pozitif tam sayı ve n ≥ 2 olmak üzere ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n) yazılır. Bu sayfada kesirli üssü a^(m/n) biçiminde gösteriyoruz ve “a üssü m/n” diye okuyoruz. Bu gösterim sayesinde üslü sayıların bütün kuralları köklü sayılarda da kullanılır: √a·∛a = a^(1/2)·a^(1/3) = a^(5/6) = ⁶√(a⁵).
Paydayı kökten kurtarma ve sıralama
Paydada köklü sayı varsa kesir uygun bir sayıyla genişletilerek payda rasyonel yapılır: 6/√3 = 6√3/3 = 2√3. Payda iki terimliyse eşleniğiyle genişletilir; √a − √b'nin eşleniği √a + √b'dir ve (√a − √b)(√a + √b) = a − b olur: 1/(√5 − √3) = (√5 + √3)/2.
Köklü sayıları sıralamak için katsayıları kök içine alır ya da hepsini aynı dereceli köke çevirirsin: 2√3 = √12 ve 3√2 = √18 olduğundan 2√3 < 3√2'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. √75 − √48 + √27 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Her kökü sadeleştiririz: √75 = √(25·3) = 5√3, √48 = √(16·3) = 4√3, √27 = √(9·3) = 3√3. Üçü de benzer terimdir; katsayılar toplanıp çıkarılır: 5√3 − 4√3 + 3√3 = 4√3.
Örnek 2. (√12 + √3)·√3 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Dağılma özelliğini kullanırız: √12·√3 + √3·√3 = √36 + 3 = 6 + 3 = 9. Önce sadeleştirerek de çözebilirsin: √12 + √3 = 2√3 + √3 = 3√3 ve 3√3·√3 = 3·3 = 9.
Örnek 3. 1/(√7 − 2) + 1/(√7 + 2) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Paydalar birbirinin eşleniğidir ve çarpımları (√7)² − 2² = 7 − 4 = 3'tür. Payda eşitlenince pay (√7 + 2) + (√7 − 2) = 2√7 olur. Sonuç 2√7/3'tür.
Örnek 4. a = ∛3, b = √2 ve c = ⁶√10 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm. Kök derecelerinin EKOK'u 6'dır; hepsini 6. dereceden köke çeviririz. a = 3^(1/3) = 3^(2/6) = ⁶√9, b = 2^(1/2) = 2^(3/6) = ⁶√8 ve c = ⁶√10. Kök dereceleri aynı olduğu için içi büyük olan büyüktür: 8 < 9 < 10. Sıralama küçükten büyüğe b, a, c'dir.
Sık yapılan hatalar
- √(a + b) ifadesini √a + √b sanmak: √(9 + 16) = 5 iken √9 + √16 = 7'dir.
- √(x²) ifadesini her zaman x sanmak; doğrusu |x|'tir.
- Kök içleri farklı terimleri toplamak: √2 + √3 = √5 gibi.
- Çift dereceli kökün içinin negatif olabileceğini düşünmek.
- Çift dereceli kökte içi negatif olamaz; √(x²) = |x|.
- √(a·b) = √a·√b; tam kare çarpanlar kök dışına çıkar.
- Yalnızca kök derecesi ve kök içi aynı olan terimler toplanır.
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n).
- (√a − √b)(√a + √b) = a − b.