Konu anlatımı
Köklü sayılar aslında kesirli üslü sayılardır. Bu bağlantı, üslü sayılar için öğrendiğin bütün kuralları köklü sayılarda da kullanmanı sağlar. Bu alt başlıkta kesirli üssün anlamını, köklü ifadeleri üslü biçime çevirmeyi ve bu yolla iç içe kökleri sadeleştirmeyi göreceksin. Kesirli üssü a^(m/n) biçiminde yazıyor ve “a üssü m/n” diye okuyoruz.
Kesirli üssün anlamı
a pozitif ve n ≥ 2 tam sayı ise a^(1/n) = ⁿ√a'dır. Bunun nedeni üssün üssü kuralıdır: (a^(1/n))ⁿ = a^(n/n) = a¹ = a, yani a^(1/n) sayısının n. kuvveti a'dır. m pozitif tam sayı için a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ olur: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
Kesirli üs hesaplarken kökü önce almak sayıları küçültür: 27^(4/3) için önce ∛27 = 3 bulunur, sonra 3⁴ = 81. Negatif kesirli üs yine ters almayı gösterir: 16^(−3/4) = 1/(∜16)³ = 1/2³ = 1/8.
Kök derecesini sadeleştirme ve genişletme
Kesirli üs sadeleştirilebildiği için kök derecesi ile içerideki üs aynı sayıya bölünebilir: ⁶√(a⁴) = a^(4/6) = a^(2/3) = ∛(a²). Tersine ikisi aynı sayıyla çarpılabilir: √a = a^(1/2) = a^(3/6) = ⁶√(a³).
Genişletme, farklı dereceli kökleri ortak dereceye getirmenin yoludur ve köklü sayıları çarparken ya da sıralarken kullanılır. Bu kurallar a pozitifken geçerlidir; negatif sayılarda kök derecesini değiştirmek işareti bozabileceği için kullanılmaz.
İç içe kökler
İç içe köklerde her kök bir kesirli üse dönüşür ve üsler çarpılır: √(∛a) = (a^(1/3))^(1/2) = a^(1/6) = ⁶√a. Kök içinde çarpan varsa önce içteki ifade tek bir kuvvet olarak yazılır: √(a·∛a) = √(a^(4/3)) = a^(4/6) = a^(2/3).
Lise programında yalnızca sonlu sayıda iç içe kök ele alınır. Böyle ifadelerde en içteki kökten başlar, her adımda bir kökü kesirli üse çevirip dışarı doğru ilerlersin; sonunda ifade tek bir kuvvete dönüşür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (∛8)² + 16^(3/4) − 81^(1/2) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Her terimde önce kökü alırız. (∛8)² = 2² = 4. 16^(3/4) = (∜16)³ = 2³ = 8. 81^(1/2) = √81 = 9. Sonuç 4 + 8 − 9 = 3'tür.
Örnek 2. √(2·∛4) ifadesini 2'nin kuvveti olarak yazınız.
Çözüm. İçten başlarız: ∛4 = ∛(2²) = 2^(2/3). Kök içindeki çarpım 2·2^(2/3) = 2^(1 + 2/3) = 2^(5/3) olur. Karekök üssü yarıya indirir: √(2^(5/3)) = 2^(5/6). Sonuç 2^(5/6), yani ⁶√32'dir.
Sık yapılan hatalar
- a^(m/n) ifadesinde m ile n'nin yerini karıştırmak: kökün derecesi paydadaki n'dir.
- Kesirli üssü çarpma gibi hesaplamak: 8^(2/3) ifadesini 8·2/3 sanmak.
- Kök derecesini sadeleştirirken yalnızca kök derecesini ya da yalnızca içerideki üssü bölmek.
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n); kök derecesi üssün paydasına gider.
- a pozitifken kök derecesi ile içerideki üs aynı sayıyla çarpılıp bölünebilir.
- İç içe köklerde üsler çarpılır.