Konu anlatımı
Kök almak, üs almanın tersidir: karesi 25 olan negatif olmayan sayı sorusunun cevabı √25 = 5'tir. Ama her sayının her dereceden kökü alınamaz ve kökün değeri işaret konusunda dikkat ister. Bu alt başlıkta kök derecelerini, hangi durumda kökün tanımlı olduğunu ve √(x²) = |x| eşitliğini göreceksin.
Karekök ve küpkök
a ≥ 0 için √a, karesi a olan negatif olmayan sayıdır: √36 = 6. −6'nın karesi de 36 olduğu hâlde √36 = 6'dır; karekök sembolü her zaman negatif olmayan değeri gösterir. x² = 36 denkleminin ise iki çözümü vardır: x = 6 ya da x = −6. Bu fark, denklem çözmekle bir sayının karekökünü yazmak arasındaki farktır.
∛a, küpü a olan sayıdır ve a'nın her gerçek değeri için tanımlıdır: ∛27 = 3 ve ∛(−27) = −3, çünkü (−3)³ = −27. Tam kare ve tam küp sayıları tanımak işini hızlandırır: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 tam karelerdir; 1, 8, 27, 64, 125, 216 tam küplerdir.
n. dereceden kök ve tanım koşulu
n ≥ 2 tam sayı olmak üzere ⁿ√a, n. kuvveti a olan sayıdır; n'ye kökün derecesi denir. n çiftse kök yalnızca a ≥ 0 için tanımlıdır ve sonuç negatif olmayan sayıdır: ∜16 = 2, ∜(−16) ise gerçek sayılarda tanımsızdır. n tekse kök her gerçek sayı için tanımlıdır ve kökün işareti içerinin işaretiyle aynıdır: ⁵√(−32) = −2.
Bu yüzden √(x − 3) ifadesinin tanımlı olması için x − 3 ≥ 0, yani x ≥ 3 olmalıdır; ∛(x − 3) ise her x için tanımlıdır. Bir ifadede birden çok çift dereceli kök varsa her birinin koşulu ayrı yazılır ve ortak çözüm alınır.
√(x²) = |x|
Karekök negatif olmayan değeri verdiği için √(x²) = |x|'tir. x pozitifse sonuç x, negatifse −x olur: √((−5)²) = √25 = 5. Bu eşitlik köklü ifadeleri mutlak değere bağlar: x < 2 ise √((x − 2)²) = |x − 2| = 2 − x olur.
Genel olarak çift dereceli köklerde ⁿ√(xⁿ) = |x|, tek dereceli köklerde ⁿ√(xⁿ) = x'tir. Örneğin ∜((−3)⁴) = 3 iken ∛((−3)³) = −3'tür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. √(x + 2) + √(5 − x) ifadesini tanımlı yapan kaç tam sayı x değeri vardır?
Çözüm. İki karekökün içi de negatif olmamalıdır. x + 2 ≥ 0 koşulundan x ≥ −2, 5 − x ≥ 0 koşulundan x ≤ 5 bulunur. İki koşul birlikte −2 ≤ x ≤ 5 verir. Bu aralıkta 5 − (−2) + 1 = 8 tam sayı vardır.
Örnek 2. x < 0 < y olmak üzere √(x²) + ∛(y³) − √((x − y)²) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm. √(x²) = |x| ve x negatif olduğu için |x| = −x. ∛(y³) = y'dir; tek dereceli kökte işaret korunur. √((x − y)²) = |x − y| ve x − y negatif olduğu için |x − y| = y − x. İfade −x + y − (y − x) = −x + y − y + x = 0 olur.
Sık yapılan hatalar
- √36 = ±6 yazmak; karekök sembolü yalnızca negatif olmayan değeri gösterir.
- √(x²) = x yazmak; doğrusu |x|'tir.
- Tek dereceli kökün içinin negatif olamayacağını sanmak: ∛(−8) = −2 tanımlıdır.
- Çift dereceli kökte içi ve sonuç negatif olamaz; tek dereceli kök her sayı için tanımlıdır.
- √(x²) = |x| ve ∛(x³) = x.
- x² = 36 denkleminin iki çözümü vardır ama √36 yalnızca 6'dır.