Konu anlatımı
Köklü sayılarda çarpma ve bölme, toplamadan daha esnektir: kök içleri farklı olsa da aynı dereceli kökler birleştirilebilir. Bu alt başlıkta aynı ve farklı dereceli köklerle çarpma-bölmeyi ve köklü iki terimlilerin çarpımında özdeşlikleri kullanmayı göreceksin.
Aynı dereceli kökler
a, b ≥ 0 için √a·√b = √(a·b), b pozitifse √a/√b = √(a/b)'dir. √3·√12 = √36 = 6 ve √72/√8 = √9 = 3 örneklerinde görüldüğü gibi, kök içlerini birleştirmek çoğu zaman sonucu tam sayıya dönüştürür.
Katsayılı terimlerde katsayılar kendi aralarında, kökler kendi aralarında çarpılır: 2√3·5√6 = 10√18 = 10·3√2 = 30√2. Çarpımdan sonra kök içini sadeleştirmeyi unutma.
Farklı dereceli kökler
Dereceler farklıysa önce ortak dereceye getirilir. Ortak derece, kök derecelerinin EKOK'udur; her kökün derecesi ve içerideki üs aynı sayıyla genişletilir. √2·∛3 için ortak derece 6'dır: √2 = ⁶√(2³) = ⁶√8 ve ∛3 = ⁶√(3²) = ⁶√9. Çarpım ⁶√72 olur.
Aynı sonuca üslü gösterimle de ulaşırsın; tabanlar aynıysa bu yol daha kısadır: ∛4·⁶√2 = 2^(2/3)·2^(1/6) = 2^(5/6).
Dağılma ve özdeşlikler
Köklü iki terimliler, cebirdeki gibi dağılma özelliği ve özdeşliklerle çarpılır. (√5 + 2)(√5 − 2) = 5 − 4 = 1 ve (√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6 olur. İki kare farkı özdeşliği (a + b)(a − b) = a² − b², köklü terimleri yok ettiği için özellikle önemlidir; paydayı kökten kurtarmanın temeli de budur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (2√3 − √2)² + 4√6 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Tam kare açılımını kullanırız: (2√3)² − 2·2√3·√2 + (√2)² = 12 − 4√6 + 2 = 14 − 4√6. Buna 4√6 eklenince köklü terimler birbirini götürür ve sonuç 14 olur.
Örnek 2. ∛4·⁶√2/√2 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Hepsini 2 tabanında kesirli üsle yazarız: ∛4 = 2^(2/3) = 2^(4/6), ⁶√2 = 2^(1/6) ve √2 = 2^(1/2) = 2^(3/6). Çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır: 2^((4 + 1 − 3)/6) = 2^(2/6) = 2^(1/3). Sonuç ∛2'dir.
Sık yapılan hatalar
- Farklı dereceli kökleri ortak dereceye getirmeden içlerini çarpmak: √2·∛3 = ⁵√6 gibi.
- (√a + √b)² ifadesini a + b sanmak; ortadaki 2√(ab) terimi unutulur.
- Katsayılı çarpımda katsayıları kök içine eklemek.
- Aynı derece: √a·√b = √(ab) ve √a/√b = √(a/b).
- Farklı derece: kök derecelerinin EKOK'una genişlet.
- (√a + √b)(√a − √b) = a − b; (√a + √b)² = a + b + 2√(ab).