Konu anlatımı
Paydasında köklü sayı bulunan bir kesri, değerini değiştirmeden paydası rasyonel olan bir kesre çevirebilirsin. Bu işleme paydayı kökten kurtarma ya da paydayı rasyonel yapma denir. Bu alt başlıkta tek terimli ve iki terimli paydalar için yöntemleri öğreneceksin; lise programında eşlenik en çok iki terimli ifadeler için kullanılır.
Tek terimli payda
Paydada √a varsa kesri √a ile genişletirsin, çünkü √a·√a = a olur: 6/√3 = 6√3/(√3·√3) = 6√3/3 = 2√3. Kesrin pay ve paydası aynı sayıyla çarpıldığı için değeri değişmez.
Paydada ∛a varsa kök içini tam küpe tamamlayan ∛(a²) ile genişletirsin: 4/∛2 = 4∛4/(∛2·∛4) = 4∛4/∛8 = 4∛4/2 = 2∛4.
İki terimli payda ve eşlenik
a + b ile a − b ifadelerine birbirinin eşleniği denir. İki kare farkı özdeşliği sayesinde (√a + √b)(√a − √b) = a − b ve (√a + c)(√a − c) = a − c² olur; kökler kaybolur. Bu yüzden paydası √a ± √b ya da √a ± c olan kesir, paydanın eşleniğiyle genişletilir.
Örneğin 4/(√5 + 1) kesrini √5 − 1 ile genişletince payda (√5)² − 1² = 4 olur ve kesir 4(√5 − 1)/4 = √5 − 1'e dönüşür. Paydada iki köklü terim varsa yöntem aynıdır: 2/(√5 − √3) = 2(√5 + √3)/(5 − 3) = √5 + √3.
Toplam ve farklarda kullanım
Eşlenik, kesirli köklü toplamları da sadeleştirir. 1/(√2 + 1) + 1/(√3 + √2) + 1/(2 + √3) toplamında her terim eşleniğiyle genişletilince sırasıyla √2 − 1, √3 − √2 ve 2 − √3 elde edilir; her paydanın değeri 1 olur. Ardışık terimler birbirini götürür ve toplam 2 − 1 = 1 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (√3 + 1)/(√3 − 1) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Paydanın eşleniği olan √3 + 1 ile pay ve paydayı çarparız. Payda (√3)² − 1² = 2 olur. Pay (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3 olur. Kesir (4 + 2√3)/2 = 2 + √3'tür.
Örnek 2. 6/√2 − 2/(√3 − 1) + √3 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. İlk terim: 6/√2 = 6√2/2 = 3√2. İkinci terimi eşlenikle genişletiriz: 2/(√3 − 1) = 2(√3 + 1)/(3 − 1) = √3 + 1. İşlem 3√2 − (√3 + 1) + √3 = 3√2 − √3 − 1 + √3 = 3√2 − 1 olur.
Sık yapılan hatalar
- Yalnızca paydayı eşlenikle çarpıp payı çarpmayı unutmak.
- Eşleniği yanlış yazmak: √5 + 1'in eşleniğini −√5 − 1 sanmak; doğrusu √5 − 1'dir.
- Küpkök paydayı ∛a ile genişletmek; tam küpe tamamlamak için ∛(a²) gerekir.
- Paydası √a olan kesir √a ile genişletilir.
- √a + √b'nin eşleniği √a − √b'dir ve çarpımları a − b'dir.
- Pay ile payda aynı sayıyla genişletildiği için kesrin değeri değişmez.