Kök Dışına Çıkarma ve Kök İçine Alma

Konu anlatımı

Köklü bir sayının en sade hâli, kök içinde artık dışarı çıkarılabilecek bir çarpan kalmayan hâlidir. Bu alt başlıkta kök içindeki tam kare ve tam küp çarpanları dışarı çıkarmayı, dışarıdaki katsayıyı içeri almayı ve bu iki işlemin hangi sorularda işe yaradığını göreceksin.

Çarpımın kökü

a ve b negatif olmayan sayılar için √(a·b) = √a·√b'dir, çünkü iki tarafın da karesi a·b'dir ve iki taraf da negatif değildir. Benzer biçimde b pozitifse √(a/b) = √a/√b olur. Bu kural kök içindeki çarpanları ayırmayı sağlar. Kural toplama için geçerli değildir: √(a + b), √a + √b'ye eşit değildir.

Dışarı çıkarma

Kök içindeki sayıyı en büyük tam kare çarpanı ile kalan çarpanın çarpımı olarak yazarsın: √72 = √(36·2) = 6√2 ve √200 = √(100·2) = 10√2. En büyük tam kare çarpanı göremiyorsan asal çarpanlara ayır ve her çift çarpandan birini dışarı çıkar: 180 = 2²·3²·5 olduğundan √180 = 2·3·√5 = 6√5.

Küpkökte üçlü çarpanlar dışarı çıkar: ∛54 = ∛(27·2) = 3∛2 ve ∛(−250) = ∛(−125·2) = −5∛2. Değişkenlerde de aynı kural geçerlidir: x pozitifken √(x³) = √(x²·x) = x√x.

İçeri alma

Kök dışındaki pozitif bir katsayıyı içeri almak için kök derecesi kadar kuvvetini alırsın: 3√5 = √(3²·5) = √45 ve 2∛3 = ∛(2³·3) = ∛24. Negatif katsayı karekökün içine alınmaz; işareti dışarıda bırakılır: −2√3 = −√12.

İçeri alma, köklü sayıları karşılaştırmanın en güvenli yoludur: 4√2 = √32 ve 3√3 = √27 olduğundan 4√2 daha büyüktür.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• En büyük tam kare çarpanı kullanmadığı için sadeleştirmeyi yarım bırakmak: √72 = 2√18 deyip durmak.
• Katsayıyı kök içine alırken karesini almayı unutmak: 3√5 = √15 yazmak.
• √(a + b) = √a + √b sanmak.