Konu anlatımı
Hareket problemleri, bir yolu belli bir hızla giden araçların ya da kişilerin aldığı yolu, geçen süreyi ve hızlarını ilişkilendirir. Bütün konu tek bir bağıntıya dayanır: Sabit hızla giden bir hareketli için alınan yol = hız × zaman, kısaca x = v·t. Sorular ne kadar karmaşık görünürse görünsün, her hareketli için bu bağıntıyı doğru kurmak çözümün yarısıdır.
Bu sayfada hız kavramını, birim dönüşümünü ve iki hareketlinin birbirine göre durumunu göreceksin. Karşılaşma, yetişme, ortalama hız, akıntı, dairesel pist ve tren problemleri alt başlıklarda ayrıntılı olarak ele alınıyor.
Yol, hız ve zaman
Hız, birim zamanda alınan yoldur. Saatte 80 km hızla giden bir otomobil 3 saatte 80·3 = 240 km yol alır. Bağıntının üç biçimi de kullanılır: x = v·t, v = x/t ve t = x/v. Hız sabitken alınan yol zamanla doğru orantılıdır; yol sabitken hız ile süre ters orantılıdır.
Birimleri eşitlemek
Yol, hız ve zaman aynı birim sisteminde olmalıdır: ya kilometre ve saat ya da metre ve saniye. 1 km = 1000 m ve 1 saat = 3600 saniye olduğundan saatte 36 km, saniyede 36 000 ÷ 3600 = 10 m'dir. Kısa yol: km/sa biriminden m/sn birimine geçerken 3,6'ya bölünür, tersine geçerken 3,6 ile çarpılır. Dakikalar saate çevrilirken 60'a bölünür: 45 dakika 3/4 saattir.
Zıt yönde hareket: karşılaşma
Aralarında x km bulunan iki araç birbirine doğru v₁ ve v₂ hızlarıyla aynı anda yola çıkarsa aradaki uzaklık her saat v₁ + v₂ kadar azalır. Karşılaşma süresi t = x/(v₁ + v₂)'dir. Aynı noktadan zıt yönlere doğru uzaklaşan iki araç arasındaki uzaklık da her saat v₁ + v₂ kadar artar.
Aynı yönde hareket: yetişme
Aynı yönde giden iki araçtan arkadaki daha hızlıysa aradaki uzaklık her saat v₁ − v₂ kadar azalır. Aralarında x km bulunan araçlarda yetişme süresi t = x/(v₁ − v₂)'dir. Hızlı olan sonradan yola çıkıyorsa önce yavaş olanın o sürede aldığı yol hesaplanır; bu yol, yetişme başlarken aradaki uzaklıktır.
Ortalama hız
Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölümüdür; hızların ortalaması değildir. 180 km'lik bir yolu gidişte saatte 90 km, dönüşte saatte 60 km hızla alan bir aracın toplam yolu 360 km, toplam zamanı 2 + 3 = 5 saattir. Ortalama hızı saatte 360 ÷ 5 = 72 km'dir; hızların ortalaması olan 75 değildir, çünkü yavaş gidilen dönüşte daha uzun süre geçmiştir.
Akıntı ve dairesel pist
Akıntı hızı a olan bir nehirde durgun sudaki hızı v olan bir tekne akıntı yönünde v + a, akıntıya karşı v − a hızıyla gider. Dairesel bir pistte aynı noktadan zıt yönlere çıkan iki koşucu, birlikte pistin çevresi kadar yol aldıklarında karşılaşır. Aynı yöne çıkan iki koşucudan hızlı olan ise yavaş olandan bir tur fazla koştuğunda ona yetişir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Aralarında 420 km bulunan iki şehirden saatte 65 km ve 75 km hızlarla iki araç aynı anda birbirine doğru hareket ediyor. Araçlar kaç saat sonra karşılaşır?
Çözüm. Araçlar zıt yönlerden birbirine yaklaştığı için aradaki uzaklık her saat 65 + 75 = 140 km azalır. 420 km'lik uzaklık 420 ÷ 140 = 3 saatte kapanır. Kontrol: 3 saatte araçlar 195 km ve 225 km yol alır; toplam 420 km eder.
Örnek 2. Saatte 50 km hızla giden bir kamyondan 3 saat sonra aynı noktadan aynı yönde saatte 80 km hızla bir otomobil yola çıkıyor. Otomobil kamyona kaç saatte yetişir?
Çözüm. Otomobil yola çıktığında kamyon 50·3 = 150 km öndedir. Aynı yönde gittikleri için aradaki uzaklık her saat 80 − 50 = 30 km kapanır. Otomobil kamyona 150 ÷ 30 = 5 saatte yetişir. Kontrol: O anda otomobil 400 km, kamyon 8 saatte 400 km yol almıştır.
Örnek 3. Bir araç 3 saat boyunca saatte 70 km, ardından 2 saat boyunca saatte 95 km hızla gidiyor. Aracın bu yolculuktaki ortalama hızı saatte kaç km'dir?
Çözüm. Toplam yol 3·70 + 2·95 = 210 + 190 = 400 km, toplam zaman 5 saattir. Ortalama hız 400 ÷ 5 = 80 km/sa olur. Hızların basit ortalaması 82,5 olurdu; ama araç yavaş hızla daha uzun süre gittiği için ortalama daha düşüktür.
Örnek 4. Saatte 54 km hızla giden bir aracın hızı saniyede kaç metredir? Bu araç 2 dakikada kaç metre yol alır?
Çözüm. km/sa biriminden m/sn birimine geçmek için 3,6'ya böleriz: 54 ÷ 3,6 = 15 m/sn. 2 dakika 120 saniyedir. Araç 2 dakikada 15·120 = 1800 m yol alır. Kontrol: Saatte 54 km giden araç dakikada 54/60 = 0,9 km, 2 dakikada 1,8 km yol alır.
Sık yapılan hatalar
- Birimleri eşitlemeden işlem yapmak: saat ile dakikayı ya da kilometre ile metreyi karıştırmak.
- Ortalama hızı hızların ortalaması sanmak.
- Karşılaşmada hızları çıkarmak, yetişmede toplamak; zıt yönde hızlar toplanır, aynı yönde çıkarılır.
- Sonradan yola çıkan araçta öndekinin baştaki avantajını hesaba katmamak.
- Akıntıya karşı giderken akıntı hızını eklemek.
- x = v·t; yol, hız ve zaman aynı birimlerle yazılmalıdır.
- km/sa ÷ 3,6 = m/sn; m/sn · 3,6 = km/sa.
- Zıt yönde aradaki uzaklık v₁ + v₂, aynı yönde v₁ − v₂ hızıyla değişir.
- Ortalama hız = toplam yol ÷ toplam zaman.
- Akıntı yönünde v + a, akıntıya karşı v − a.