Konu anlatımı
Denklem, içinde bilinmeyen bulunan ve yalnızca bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliktir. 4x − 7 = 13 eşitliği yalnızca x = 5 için doğrudur; denklemi doğru yapan bu değere kök, bütün köklerin kümesine çözüm kümesi denir. Problem konularının neredeyse hepsi sonunda bir denkleme dönüştüğü için denklem çözmek, matematikte en sık kullanacağın temel becerilerden biridir.
Bu sayfada birinci dereceden denklemleri hangi sırayla çözeceğini, kesirli denklemleri, çözüm kümesinin boş ya da sonsuz olduğu durumları ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerini göreceksin. Her yöntemin ayrıntısı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Denklem, kök ve derece
Bir denklemin derecesi, bilinmeyenin en büyük kuvvetidir. a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 biçimine getirilebilen denklemler birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir ve tek kökleri x = −b/a'dır. 2x + 3y = 12 gibi iki bilinmeyen içeren ve her bilinmeyenin kuvveti 1 olan denklemler ise birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerdir.
Her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir: 2(x + 3) = 2x + 6 eşitliği x yerine hangi sayıyı koyarsan koy doğrudur. Denklem ise bilinmeyenin yalnızca belirli değerleri için doğrudur; denklem çözmek bu değerleri bulmaktır.
Eşitliği korumak
Denklemi dengedeki bir terazi gibi düşün. İki kefeye aynı ağırlığı eklemek ya da iki kefeden aynı ağırlığı almak dengeyi bozmaz; iki kefedekileri aynı oranda büyütmek ya da küçültmek de bozmaz. Bu yüzden bir denklemin iki tarafına aynı sayı eklenebilir, iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir, iki taraf sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir ya da bölünebilir. “Terimi karşıya işaret değiştirerek atmak” dediğimiz kısa yol, aslında iki tarafa aynı işlemi yapmaktır.
Bilinmeyen içeren bir ifadeye bölerken dikkatli ol, çünkü o ifade 0 olabilir. 3(x − 2) = 5(x − 2) denkleminde iki tarafı x − 2'ye bölersen 3 = 5 gibi yanlış bir eşitliğe varır ve “çözüm yok” dersin. Oysa parantezleri açınca 3x − 6 = 5x − 10, buradan x = 2 bulunur; x = 2 için iki taraf da 0'dır.
Birinci dereceden denklemi çözme adımları
Karmaşık görünen birinci dereceden denklemlerin hepsi aynı sırayla sadeleşir. Her adımda denklem öncekinden biraz daha basit hâle gelir ve sonunda bilinmeyen tek başına kalır.
- Parantezleri dağılma özelliğiyle aç; önünde eksi olan parantezde her terimin işaretini değiştir.
- Kesir varsa her terimi paydaların OKEK'i ile çarparak paydalardan kurtul.
- Bilinmeyenli terimleri bir tarafta, sabit terimleri öbür tarafta topla.
- İki tarafı bilinmeyenin katsayısına böl.
- Bulduğun değeri ilk denklemde yerine koyarak kontrol et.
Kesirli denklemler ve yasak değerler
Paydalarda yalnızca sayı varsa her terim paydaların OKEK'i ile çarpılır ve denklem kesirsiz hâle gelir. Bilinmeyen paydada bulunuyorsa önce paydayı sıfır yapan değerler belirlenir; sıfıra bölme tanımsız olduğu için bu değerler kök olamaz. Çözümün sonunda bulunan değer bu yasak değerlerden biriyse atılır; başka aday yoksa çözüm kümesi boş kümedir.
Çözüm kümesi boş ya da sonsuz olabilir
Her birinci dereceden denklem düzenlenince ax = b biçimine gelir. a ≠ 0 ise tek kök vardır: x = b/a. a = 0 ise denklem 0·x = b olur; b de 0 ise bu eşitlik her x için doğrudur ve çözüm kümesi ℝ'dir. b ≠ 0 ise eşitlik hiçbir x için doğru olmaz ve çözüm kümesi boş kümedir. Katsayılarında harf bulunan parametreli denklemlerde bu üç durum, parametreyi bulmak için kullanılır.
Denklem sistemleri
İki bilinmeyenli tek bir denklemi sonsuz sayıda (x, y) ikilisi sağlar; ikinci bir denklem eklenince ortak çözüm çoğunlukla tektir. Yerine koyma yönteminde bir denklemde bilinmeyenlerden biri yalnız bırakılıp öbür denklemde yerine yazılır. Yok etme yönteminde denklemler uygun sayılarla çarpılır ve taraf tarafa toplanarak ya da çıkarılarak bilinmeyenlerden biri yok edilir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli her denklemin grafiği analitik düzlemde bir doğrudur ve sistemin çözümü iki doğrunun kesişim noktasıdır. Doğrular paralelse çözüm yoktur, çakışıksa sonsuz çözüm vardır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 3(2x − 1) − 4(x − 2) = 13 denkleminin kökü kaçtır?
Çözüm. Önce parantezleri açarız: 6x − 3 − 4x + 8 = 13. İkinci parantezin önündeki −4, içerideki −2 ile çarpılınca +8 verir. Benzer terimleri toplayınca 2x + 5 = 13 olur; iki taraftan 5 çıkarınca 2x = 8 ve x = 4 bulunur. Kontrol: 3·7 − 4·2 = 21 − 8 = 13.
Örnek 2. (x + 1)/3 − (x − 2)/4 = 2 denklemini çözünüz.
Çözüm. Paydaların OKEK'i 12'dir; her terimi 12 ile çarparız: 4(x + 1) − 3(x − 2) = 24. Sağ taraftaki 2 de 12 ile çarpılır. Parantezleri açınca 4x + 4 − 3x + 6 = 24, yani x + 10 = 24 ve x = 14 bulunur. Kontrol: 15/3 − 12/4 = 5 − 3 = 2.
Örnek 3. (a − 2)x + 5 = 3x + b denkleminin çözüm kümesi gerçek sayılar kümesi olduğuna göre a + b kaçtır?
Çözüm. Bilinmeyenli terimleri sola, sabitleri sağa toplarız: (a − 2 − 3)x = b − 5, yani (a − 5)x = b − 5. Eşitliğin her x için doğru olması için x'in katsayısı da sağ taraf da 0 olmalıdır: a − 5 = 0 ve b − 5 = 0. Buradan a = 5, b = 5 ve a + b = 10 bulunur.
Örnek 4. 2x + 3y = 12 ve x − y = 1 olduğuna göre x ve y kaçtır?
Çözüm. Yok etme yöntemini kullanırız. İkinci denklemi 3 ile çarparız: 3x − 3y = 3. Bunu birinci denklemle taraf tarafa toplayınca y'li terimler yok olur: 5x = 15 ve x = 3. İkinci denklemden 3 − y = 1, yani y = 2 bulunur. Kontrol: 2·3 + 3·2 = 12.
Sık yapılan hatalar
- Parantezin önündeki eksiyi yalnızca ilk terime uygulamak: −(x − 4) = −x + 4'tür, −x − 4 değildir.
- Paydalardan kurtulurken paydası olmayan terimleri OKEK ile çarpmayı unutmak.
- Bilinmeyen içeren bir ifadeye bölüp kök kaybetmek.
- Paydayı sıfır yapan değeri kök olarak yazmak.
- Yok etme yönteminde bir denklemi çarparken sağ taraftaki sabiti çarpmamak.
- İki tarafa aynı işlemi uygularsan eşitlik bozulmaz; yalnızca 0 ile çarpma ve 0'a bölme yapılmaz.
- ax = b için: a ≠ 0 ise tek kök b/a; a = 0 ve b = 0 ise çözüm kümesi ℝ; a = 0 ve b ≠ 0 ise boş küme.
- Kesirli denklemde her terimi OKEK ile çarp; paydayı sıfır yapan değer kök olamaz.
- Sistemde yerine koyma ya da yok etme ile bilinmeyenlerden birini ortadan kaldır.
- Bulduğun değeri her zaman ilk denklemde dene.