Konu anlatımı
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem, tek bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenin en büyük kuvveti 1 olan denklemdir; düzenlenince ax + b = 0 (a ≠ 0) biçimine gelir. Bu alt başlıkta böyle bir denklemi hangi sırayla çözeceğini, parantezleri ve ondalık sayıları nasıl ele alacağını ve bulduğun kökü nasıl kontrol edeceğini göreceksin.
Denge mantığı ve kök
4x − 7 = 13 denkleminde amaç x'i tek başına bırakmaktır. İki tarafa 7 eklenince 4x = 20, iki taraf 4'e bölününce x = 5 bulunur. Her adımda iki tarafa aynı işlem uygulandığı için eşitlik korunur. “7'yi karşıya +7 olarak at” demek, bu işlemin kısa söylenişidir.
Kök, denklemi doğru yapan değerdir. Bu yüzden bulduğun değeri ilk denklemde yerine koyarak kontrol edebilirsin: 4·5 − 7 = 13. Genel olarak ax + b = 0 ve a ≠ 0 ise tek kök x = −b/a'dır; örneğin 3x + 12 = 0 denkleminin kökü −4'tür.
Parantezli denklemler
Parantezler dağılma özelliğiyle açılır. Parantezin önünde eksi işareti ya da negatif bir sayı varsa içerideki her terimin işareti değişir: −2(x − 3) = −2x + 6. Buna göre 5 − 2(x − 3) = x + 2 denklemi 11 − 2x = x + 2 olur; iki tarafa 2x ekleyip 2 çıkarınca 9 = 3x ve x = 3 bulunur.
İç içe parantezlerde en içten başlanır: 2[x − 3(x − 1)] ifadesinde önce x − 3x + 3 = 3 − 2x bulunur, sonra 2 ile çarpılarak 6 − 4x elde edilir.
Ondalık katsayılar
Katsayılar ondalık sayıysa iki tarafı 10, 100 gibi uygun bir sayıyla çarparak tam sayılarla çalışmak hata payını azaltır. 0,3x − 1,2 = 0,1x + 0,4 denkleminde iki taraf 10 ile çarpılınca 3x − 12 = x + 4 olur. Buradan 2x = 16 ve x = 8 bulunur.
Bilinmeyenli çarpana bölme tuzağı
İki tarafta aynı çarpanı görünce sadeleştirmek cazip gelir. Ama bu çarpan bilinmeyen içeriyorsa sıfır olabilir ve sıfıra bölmek tanımsızdır. 2(x + 4) = 7(x + 4) denkleminde iki tarafı x + 4'e bölersen 2 = 7 gibi yanlış bir eşitliğe varırsın. Parantezleri açınca 2x + 8 = 7x + 28, yani −20 = 5x ve x = −4 bulunur. Bilinmeyen içeren bir çarpanla sadeleştirmeden önce o çarpanın sıfır olduğu durumu ayrıca incele.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 4 − 3(2 − x) = 2(x + 5) − 7 denkleminin kökü kaçtır?
Çözüm. Önce iki taraftaki parantezleri açarız. Sol taraf: 4 − 6 + 3x = 3x − 2; −3 ile −x'in çarpımı +3x verir. Sağ taraf: 2x + 10 − 7 = 2x + 3. Denklem 3x − 2 = 2x + 3 olur; iki taraftan 2x çıkarıp 2 ekleyince x = 5 bulunur. Kontrol: 4 − 3·(−3) = 13 ve 2·10 − 7 = 13.
Örnek 2. 0,2(x − 5) + 1,6 = 0,5x − 0,9 denklemini çözünüz.
Çözüm. İki tarafı 10 ile çarparak ondalıklardan kurtuluruz: 2(x − 5) + 16 = 5x − 9. Parantezi açınca 2x − 10 + 16 = 5x − 9, yani 2x + 6 = 5x − 9. Bilinmeyenleri sağda, sabitleri solda toplarsak 15 = 3x ve x = 5 bulunur. Kontrol: 0,2·0 + 1,6 = 1,6 ve 0,5·5 − 0,9 = 1,6.
Örnek 3. x = 2 değeri 3x + a = ax + 4 denkleminin kökü olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm. Kök denklemi sağlayan değer olduğu için x yerine 2 yazarız: 3·2 + a = 2a + 4, yani 6 + a = 2a + 4. Buradan a = 2 bulunur. Kontrol: a = 2 için denklem 3x + 2 = 2x + 4 olur ve kökü gerçekten x = 2'dir.
Sık yapılan hatalar
- Parantezin önündeki eksiyi yalnızca ilk terime uygulamak: −2(x − 3) = −2x + 6'dır, −2x − 6 değildir.
- Bir terimi karşı tarafa geçirirken işaretini değiştirmeyi unutmak.
- Bilinmeyen içeren bir çarpana bölerek kök kaybetmek.
- İki tarafa aynı sayıyı ekle ya da çıkar; iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarp ya da böl.
- ax + b = 0 ve a ≠ 0 ise tek kök x = −b/a'dır.
- Ondalık katsayılarda önce 10'un uygun kuvvetiyle çarp.
- Kökü bulunca ilk denklemde yerine koyarak kontrol et.