Konu anlatımı
a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Kesirler, sonlu ondalık sayılar ve devirli ondalık sayılar aynı kümenin farklı görünüşleridir. Bu konuda rasyonel sayıları karşılaştırmayı, onlarla dört işlem yapmayı ve gösterimler arasında geçiş yapmayı öğreneceksin.
Kesir ve yüzde problemleri, oran-orantı soruları bu işlemleri hızlı ve hatasız yapmanı gerektirir. Bu sayfada temel kuralları nedenleriyle birlikte göreceksin; her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Tanım ve kesir türleri
a/b kesrinde a paya, b paydaya denir; payda 0 olamaz, çünkü 0'a bölme tanımsızdır. Payı paydasından küçük olan pozitif kesirler basit kesir, payı paydasına eşit ya da paydasından büyük olanlar bileşik kesirdir. Bileşik kesirler tam sayılı kesir olarak da yazılabilir: 17 = 3·5 + 2 olduğundan 17/5 = 3 tam 2/5'tir.
Bir kesrin payı ve paydası sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılırsa (genişletme) ya da bölünürse (sadeleştirme) kesrin değeri değişmez: 6/8 = 3/4 = 15/20. Pay ile payda aralarında asalsa kesir en sade hâlindedir.
Sıralama
Paydaları eşit pozitif kesirlerde payı büyük olan büyüktür; payları eşit pozitif kesirlerde ise paydası küçük olan büyüktür. Paydalar ya da paylar eşit değilse eşitlenir ya da ondalık değerlere bakılır. İki pozitif kesirde çapraz çarpım da işe yarar: a/b ile c/d karşılaştırılırken a·d ile b·c karşılaştırılır.
Negatif kesirlerde sıralama tersine döner: 2/3 sayısı 1/2'den büyük olduğu için −2/3 sayısı −1/2'den küçüktür.
Dört işlem
Toplama ve çıkarmada paydalar eşitlenir, paylar toplanır ya da çıkarılır: 2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12. Çarpmada paylar ve paydalar ayrı ayrı çarpılır: 2/3 · 9/10 = 18/30 = 3/5; çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapmak işi kolaylaştırır. Bölmede ikinci kesir ters çevrilip çarpılır: 3/4 ÷ 9/8 = 3/4 · 8/9 = 2/3.
İşlem önceliği tam sayılardaki gibidir: önce parantez, sonra üs, sonra çarpma ve bölme (soldan sağa), en son toplama ve çıkarma (soldan sağa).
Ondalık gösterim ve devirli sayılar
Paydası 10'un kuvveti olan kesirler ondalık biçimde yazılır: 7/20 = 35/100 = 0,35. En sade hâldeki bir kesrin paydasında 2 ve 5'ten başka asal çarpan yoksa ondalık gösterimi sonludur. Paydada 3, 7, 11 gibi başka bir asal çarpan varsa gösterim devirlidir: 1/3 = 0,333... ve 5/12 = 0,41666...
Devirli bir ondalık sayıyı kesre çevirmek için pay olarak sayının virgülsüz yazılışından devretmeyen kısım çıkarılır; paydaya devreden basamak sayısı kadar 9, ardından virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır. Örneğin 0,4666... = (46 − 4)/90 = 42/90 = 7/15.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a = 7/9, b = 9/11 ve c = 5/6 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm. Üç kesir de 1'den küçüktür; 1'e olan uzaklıklarını karşılaştırırız: 1 − 7/9 = 2/9, 1 − 9/11 = 2/11, 1 − 5/6 = 1/6 = 2/12. Bu uzaklıkların payları eşit olduğu için paydası küçük olan büyüktür: 2/9, 2/11'den; 2/11 de 2/12'den büyüktür. 1'e en uzak olan a en küçük, 1'e en yakın olan c en büyüktür. Sıralama küçükten büyüğe a, b, c'dir. Kontrol: a ≈ 0,778, b ≈ 0,818, c ≈ 0,833.
Örnek 2. (1 − 1/3)·(1 − 1/4)·(1 − 1/5)·...·(1 − 1/20) çarpımının sonucu kaçtır?
Çözüm. Her parantezi tek kesir olarak yazarız: 2/3 · 3/4 · 4/5 · ... · 19/20. Her kesrin paydası bir sonraki kesrin payıyla sadeleşir. Geriye ilk kesrin payı olan 2 ile son kesrin paydası olan 20 kalır. Sonuç 2/20 = 1/10'dur.
Örnek 3. 0,3666... − 0,1222... işleminin sonucunu kesir olarak bulunuz.
Çözüm. İki sayıyı da kesre çeviririz. 0,3666... için virgülsüz yazılış 36, devretmeyen kısım 3'tür; bir basamak devrettiği ve virgülden sonra bir basamak devretmediği için payda 90'dır: (36 − 3)/90 = 33/90. Aynı yolla 0,1222... = (12 − 1)/90 = 11/90. Fark 33/90 − 11/90 = 22/90 = 11/45'tir. Kontrol: 0,3666... − 0,1222... = 0,2444... ve 11/45 = 0,2444...
Sık yapılan hatalar
- Paydaları eşitlemeden payları toplamak: 1/2 + 1/3 = 2/5 gibi.
- Negatif kesirlerde sıralamanın tersine döndüğünü unutmak.
- Bölmede birinci kesri ters çevirmek; ters çevrilen, bölen olan ikinci kesirdir.
- Devirli sayıyı kesre çevirirken paydaya devreden basamak sayısı kadar 9 yerine 0 yazmak.
- 0,999... sayısını 1'den küçük sanmak; (9 − 0)/9 = 1'dir.
- a/b'de b ≠ 0; pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpılıp bölünebilir.
- Toplama-çıkarmada payda eşitle; çarpmada düz çarp; bölmede ikinci kesri ters çevirip çarp.
- En sade paydası yalnızca 2 ve 5 çarpanı taşıyan kesrin ondalık gösterimi sonludur.
- Devirli sayı = (virgülsüz yazılış − devretmeyen kısım) / (devreden basamak kadar 9, devretmeyen ondalık basamak kadar 0).