Konu anlatımı
Bazı kesirlerin ondalık gösterimi hiç bitmez ama bir noktadan sonra aynı basamak grubu sürekli tekrar eder. Bu sayılara devirli ondalık sayılar denir ve hepsi rasyoneldir. Bu alt başlıkta devirli bir sayıyı kesre çevirmeyi, kuralın nereden geldiğini ve bu sayılarla işlem yapmayı öğreneceksin.
Gösterim
Tekrar eden basamak grubuna devreden kısım denir; kitaplarda bu grubun üzerine çizgi çekilir. Bu sayfada tekrarı üç noktayla gösteriyoruz: 0,333... sayısında 3, 1,2454545... sayısında 45 devreder. Virgülden sonra, devreden gruptan önce gelen basamaklar (1,2454545... sayısındaki 2 gibi) devretmeyen kısımdır.
Kesre çevirme kuralı
Pay: sayının virgülsüz yazılışından (devreden grup bir kez yazılır) devretmeyen kısmın virgülsüz yazılışı çıkarılır. Payda: devreden basamak sayısı kadar 9, ardından virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır.
Örneğin 1,2454545... için virgülsüz yazılış 1245, devretmeyen kısım 12'dir. İki basamak devreder, virgülden sonra bir basamak devretmez; payda 990'dır. Sonuç (1245 − 12)/990 = 1233/990 = 137/110 olur.
Kuralın nedeni ve 0,999... = 1
x = 0,4666... olsun. 100x = 46,666... ve 10x = 4,666... olur. Taraf tarafa çıkarınca devreden kısımlar yok olur: 90x = 42, yani x = 42/90 = 7/15. Kuraldaki 9'lar ve 0'lar, devreden kısmı hizalamak için kullanılan bu 10 kuvvetlerinin farkından gelir.
Aynı yöntem x = 0,999... için 10x − x = 9,999... − 0,999... = 9, yani 9x = 9 ve x = 1 verir. 0,999... ile 1, aynı sayının iki farklı yazılışıdır; kural da (9 − 0)/9 = 1 sonucunu verir. Benzer biçimde 2,4999... = (249 − 24)/90 = 225/90 = 2,5'tir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 0,2727... sayısının 11 katı kaçtır?
Çözüm. 0,2727... sayısında iki basamak devreder ve devretmeyen ondalık basamak yoktur: 0,2727... = 27/99 = 3/11. Bu sayının 11 katı 11·3/11 = 3'tür.
Örnek 2. 1,0833... sayısını en sade kesir olarak yazınız.
Çözüm. Virgülsüz yazılış 1083, devretmeyen kısım 108'dir. Bir basamak (3) devreder, virgülden sonra iki basamak (0 ve 8) devretmez; payda 900'dür. Sonuç (1083 − 108)/900 = 975/900 olur. Pay ve payda 75'e bölünerek 13/12 elde edilir. Kontrol: 13/12 = 1,08333...
Sık yapılan hatalar
- Paydaya devreden basamak sayısı kadar 0 yazmak; 9 yazılmalıdır.
- Payda devretmeyen kısmı çıkarmayı unutmak.
- 0,999... sayısının 1'den küçük olduğunu sanmak.
- Her devirli ondalık sayı rasyoneldir.
- Pay = virgülsüz yazılış − devretmeyen kısım; payda = devreden basamak kadar 9, devretmeyen ondalık basamak kadar 0.
- 0,999... = 1 ve 2,4999... = 2,5.