Konu anlatımı
Kesirler günlük hayatta parça-bütün ilişkisini anlatır; matematikte ise rasyonel sayıların yazılış biçimidir. Bu alt başlıkta rasyonel sayının tam tanımını, kesir türlerini ve aynı rasyonel sayının farklı kesirlerle nasıl gösterilebildiğini göreceksin.
Tanım
a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir; a pay, b paydadır. Payda 0 olamaz: “hangi sayıyı 0 ile çarparsam a eder?” sorusunun a ≠ 0 için cevabı yoktur, a = 0 için ise her sayı cevaptır. İki durumda da bölme tek bir sonuç vermez.
Payı 0 olan kesirlerin değeri 0'dır: 0/7 = 0. Bir kesrin işareti pay, payda ya da kesrin önünde gösterilebilir: −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4). Değişken içeren bir kesir, paydasını 0 yapan değerde tanımsızdır: (x + 2)/(x − 5) ifadesi x = 5 için tanımsızdır.
Kesir türleri
Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirmek için payı paydaya bölersin: 23 = 3·6 + 5 olduğundan 23/6 = 3 tam 5/6'dır. Ters yönde tam kısım paydayla çarpılıp paya eklenir: 3 tam 5/6 = (3·6 + 5)/6 = 23/6.
- Basit kesir: payı paydasından küçük pozitif kesir; değeri 0 ile 1 arasındadır, örneğin 3/7.
- Bileşik kesir: payı paydasına eşit ya da paydasından büyük pozitif kesir; değeri en az 1'dir, örneğin 9/4.
- Tam sayılı kesir: bir tam sayı ile bir basit kesrin toplamı; 2 tam 1/4 = 2 + 1/4 = 9/4.
Denk kesirler, sadeleştirme ve genişletme
Pay ve paydayı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmak genişletme, bölmek sadeleştirmedir; ikisi de kesrin değerini değiştirmez. Aynı değeri gösteren kesirlere denk kesirler denir: 2/3 = 4/6 = 10/15. İki kesrin denk olup olmadığını çapraz çarpımla anlarsın: a/b = c/d ise a·d = b·c'dir.
Bir kesri en sade hâle getirmek için pay ve paydayı EBOB'larına bölersin: EBOB(84, 126) = 42 olduğundan 84/126 = 2/3'tür. Sadeleştirme yalnızca çarpanlar arasında yapılır; toplamın içindeki terimler sadeleştirilemez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (2x − 6)/(x + 4) kesri x'in hangi değeri için tanımsızdır, hangi değeri için 0'a eşittir?
Çözüm. Kesir, paydası 0 olduğunda tanımsızdır: x + 4 = 0 ise x = −4. Kesrin 0 olması için pay 0, payda 0'dan farklı olmalıdır: 2x − 6 = 0 ise x = 3 ve bu değerde payda 3 + 4 = 7 olduğu için kesir tanımlıdır. Kesir x = −4 için tanımsız, x = 3 için 0'dır.
Örnek 2. a/b = 3/5 ve a + b = 64 olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm. a/b = 3/5 ise a ve b, 3 ile 5'in aynı sayıyla genişletilmiş hâlleridir: a = 3k, b = 5k (k sıfırdan farklı). a + b = 8k = 64 olduğundan k = 8 bulunur. Buna göre a = 24 ve b = 40'tır. Kontrol: 24/40 = 3/5.
Sık yapılan hatalar
- Payı 0 olan kesri tanımsız sanmak; tanımsız olan, paydası 0 olan kesirdir.
- Toplamdaki terimleri sadeleştirmek: (3 + 6)/3 ifadesinde 3'leri silip 6 bulmak; doğrusu 9/3 = 3'tür.
- Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirirken tam kısmı paydayla çarpmayı unutmak.
- a/b'de b ≠ 0; payı 0 olan kesrin değeri 0'dır.
- Genişletme ve sadeleştirme kesrin değerini değiştirmez.
- a/b = c/d ise a·d = b·c.