Konu anlatımı
Önerme, doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak söylenebilen, hüküm bildiren cümledir. “7 bir asal sayıdır.” doğru, “2 + 3 = 6” yanlış bir önermedir; “Bu soru zor mu?” ise hüküm bildirmediği için önerme değildir. Mantık, önermeleri bağlaçlarla birleştirip yeni önermeler kurmayı ve bunların doğruluğunu sistemli biçimde bulmayı öğretir. Önermeleri 1 ve 0 değerleriyle hesaplama fikri Leibniz'e kadar uzanır; Boole bu fikri cebirsel bir sisteme dönüştürmüştür.
Bu sayfada önermeyi, bileşik önermeleri, denk önermeleri, koşullu ve iki yönlü koşullu önermeyi ve niceleyicileri göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Önerme, doğruluk değeri ve değil
Önermeler p, q, r gibi küçük harflerle gösterilir. Doğru önermenin doğruluk değeri 1 ya da D, yanlış önermeninki 0 ya da Y ile gösterilir. p önermesinin değili p' ya da ~p ile gösterilir ve doğruluk değerini tersine çevirir: p doğruysa p' yanlış, p yanlışsa p' doğrudur. Doğruluk değerleri her durumda aynı olan iki önermeye denk önermeler denir ve ≡ sembolüyle gösterilir; (p')' ≡ p bunun bir örneğidir.
Bileşik önermeler
İki ya da daha fazla önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle bileşik önerme elde edilir. Bağlaçların doğruluk kuralları şöyledir; hepsini bu kısa cümlelerle aklında tutabilirsin.
- p ∧ q (p ve q): yalnızca iki önerme de doğruyken doğrudur.
- p ∨ q (p veya q): yalnızca iki önerme de yanlışken yanlıştır.
- p ⊻ q (p ya da q): önermelerden yalnız biri doğruyken doğrudur.
- p ⇒ q (p ise q): yalnızca p doğru ve q yanlışken yanlıştır.
- p ⇔ q (p ancak ve ancak q): iki önerme aynı doğruluk değerindeyken doğrudur.
Doğruluk tablosu ve De Morgan kuralları
n farklı önermeden kurulan bir bileşik önermenin doğruluk tablosunda 2ⁿ satır vardır. İki önermenin denk olduğunu göstermenin bir yolu, tablolarının her satırda aynı değeri verdiğini görmektir. Ve ile veya bağlaçlarında değişme, birleşme ve dağılma özellikleri vardır; ayrıca p ∨ p' ≡ 1, p ∧ p' ≡ 0, p ∧ 1 ≡ p ve p ∨ 0 ≡ p olur.
De Morgan kuralları bileşik önermenin değilini verir: (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' ve (p ∨ q)' ≡ p' ∧ q'. Değil alınırken her önermenin değili alınır ve ∧ ile ∨ bağlaçları yer değiştirir.
Koşullu önerme ve denkleri
p ⇒ q önermesinde p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. p ⇒ q ≡ p' ∨ q denkliği koşullu önermeyi “veya” diline çevirir; buradan değili (p ⇒ q)' ≡ p ∧ q' bulunur. Koşullu önermenin karşıtı q ⇒ p, tersi p' ⇒ q', karşıt tersi q' ⇒ p' önermesidir. Bir koşullu önerme karşıt tersine denktir; karşıtı ve tersi ise ona genellikle denk değildir.
İki yönlü koşullu önerme için p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) denkliği vardır. p ⇔ q doğruysa p, q için gerek ve yeter şarttır.
Açık önerme ve niceleyiciler
İçinde değişken bulunan ve değişkenin değerine göre doğru ya da yanlış olan ifadelere açık önerme denir: p(x): x + 2 > 5 gibi. Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine doğruluk kümesi denir. “Her” (∀) ve “bazı” (∃) niceleyicileri açık önermeyi önermeye çevirir: ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 doğrudur; ∃x ∈ ℕ, x + 3 = 1 yanlıştır. Niceleyicili bir önermenin değilinde ∀ ile ∃ yer değiştirir ve açık önermenin değili alınır.
Tanım, aksiyom, teorem ve ispat
Tanım, bir kavramın ne olduğunu açıkça belirten ifadedir. Aksiyom, doğruluğu ispatsız kabul edilen temel önermedir; “İki farklı noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.” gibi. Teorem, doğruluğu ispatla gösterilen önermedir ve çoğu zaman “hipotez ⇒ hüküm” biçimindedir. “Bir sayı 6 ile bölünüyorsa 3 ile bölünür.” teoreminde hipotez “sayı 6 ile bölünür”, hüküm “sayı 3 ile bölünür” önermesidir. İspat ise teoremin doğruluğunu tanımlar, aksiyomlar ve daha önce ispatlanmış teoremlerle adım adım göstermektir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. p ⇒ q önermesi yanlış, q ∨ r önermesi doğrudur. Buna göre (r ⇒ p) ∧ q' önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözüm. Koşullu önerme yalnızca 1 ⇒ 0 durumunda yanlış olduğundan p = 1 ve q = 0'dır. q ∨ r doğru ve q yanlış olduğuna göre r = 1 olmalıdır. r ⇒ p önermesi 1 ⇒ 1 olduğu için doğrudur; q' = 1'dir. Sonuç 1 ∧ 1 = 1, yani önerme doğrudur.
Örnek 2. (p ∨ q') ∧ q önermesinin en sade biçimi nedir?
Çözüm. Dağılma özelliğini uygularız: (p ∨ q') ∧ q ≡ (p ∧ q) ∨ (q' ∧ q). Bir önerme ile değilinin “ve” bağlacıyla birleşimi her zaman yanlıştır: q' ∧ q ≡ 0. Buna göre ifade (p ∧ q) ∨ 0 ≡ p ∧ q olur. Dört satırlık doğruluk tablosuyla da iki ifadenin hep aynı değeri verdiğini görebilirsin.
Örnek 3. “Hava güneşli ise pikniğe gideriz.” önermesinin karşıt tersini ve değilini yazınız.
Çözüm. p: “Hava güneşlidir.” ve q: “Pikniğe gideriz.” dersek önerme p ⇒ q olur. Karşıt tersi q' ⇒ p' önermesidir: “Pikniğe gitmezsek hava güneşli değildir.” Bu önerme ilk önermeye denktir. Değil ise (p ⇒ q)' ≡ p ∧ q' önermesidir: “Hava güneşlidir ve pikniğe gitmeyiz.” Değilin bir koşul değil, bir durum bildirdiğine dikkat et.
Örnek 4. ∀x ∈ ℕ, x² > x önermesinin doğruluk değeri nedir? Bu önermenin değilini yazınız.
Çözüm. Önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeter: x = 1 için 1² > 1 eşitsizliği sağlanmaz, x = 0 için de 0 > 0 yanlıştır. Bu yüzden önerme yanlıştır. Değil alınırken ∀ yerine ∃ yazılır ve açık önermenin değili alınır: ∃x ∈ ℕ, x² ≤ x. Bu önerme doğrudur, çünkü x = 0 ve x = 1 onu sağlar.
Sık yapılan hatalar
- p ⇒ q önermesinin değilini p' ⇒ q' sanmak; doğrusu p ∧ q' önermesidir.
- De Morgan kuralında bağlacı değiştirmeyi unutmak: (p ∧ q)' ≡ p' ∧ q' yazmak.
- “Ya da” bağlacını “veya” ile karıştırmak; p ⊻ q iki önerme de doğruyken yanlıştır.
- Koşullu önermeyi karşıtına denk sanmak: p ⇒ q ile q ⇒ p denk değildir.
- Hipotezi yanlış olan koşullu önermeyi yanlış saymak; böyle bir koşullu önerme her zaman doğrudur.
- p ∧ q yalnızca 1 ∧ 1 iken doğru, p ∨ q yalnızca 0 ∨ 0 iken yanlıştır.
- p ⇒ q yalnızca 1 ⇒ 0 iken yanlıştır ve p ⇒ q ≡ p' ∨ q.
- (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' ve (p ∨ q)' ≡ p' ∧ q'.
- p ⇒ q ≡ q' ⇒ p'; karşıt ile ters de birbirine denktir.
- (∀x, p(x))' ≡ ∃x, p'(x) ve (∃x, p(x))' ≡ ∀x, p'(x).