Konu anlatımı
Uzun bir bileşik önermeyi, doğruluk tablosu kurmadan denklik kurallarıyla kısa bir önermeye dönüştürebilirsin. Bu alt başlıkta sadeleştirmede kullanılan kuralları, adım adım sadeleştirmeyi ve sonucu birkaç satırla kontrol etmeyi göreceksin. Program bu tür soruları en fazla üç önerme içeren ve en fazla dört bileşenli ifadelerle sınırlar.
Kullanılan denklikler
Sadeleştirmede şu denklikler araç olarak kullanılır. Hepsi doğruluk tablosuyla doğrulanabilir; ezberlemekten çok, nereden geldiklerini bilmek işini kolaylaştırır.
- p ⇒ q ≡ p' ∨ q.
- (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' ve (p ∨ q)' ≡ p' ∧ q'.
- Dağılma: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ve p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
- p ∨ p' ≡ 1, p ∧ p' ≡ 0, p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p, p ∨ 1 ≡ 1, p ∧ 0 ≡ 0.
- Yutma: p ∨ (p ∧ q) ≡ p ve p ∧ (p ∨ q) ≡ p.
Adım adım sadeleştirme
Önce bütün koşullu önermeleri “veya” ile yaz, sonra değilleri De Morgan kurallarıyla içeri dağıt, en son dağılma kuralı ile 1 ve 0 kurallarıyla kısalt. Örneğin (p ⇒ q) ∧ p ifadesinde p ⇒ q ≡ p' ∨ q yazılır: (p' ∨ q) ∧ p ≡ (p' ∧ p) ∨ (q ∧ p) ≡ 0 ∨ (p ∧ q) ≡ p ∧ q bulunur.
İç içe koşullu önermelerde de aynı yol izlenir: p ⇒ (q ⇒ r) ≡ p' ∨ (q' ∨ r) ≡ (p' ∨ q') ∨ r ≡ (p ∧ q)' ∨ r ≡ (p ∧ q) ⇒ r. Yani “p ise, q ise r” önermesi “p ve q ise r” önermesine denktir. Benzer biçimde (p ∨ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) olur.
Sonucu kontrol etmek
Sadeleştirmenin doğru olup olmadığını birkaç satır deneyerek kontrol edebilirsin; ilk ifade ile bulduğun ifade her satırda aynı değeri vermelidir. Denk olmayan iki ifadeyi ayırmak için tek bir karşı satır yeter. Örneğin (p ∨ q) ⇒ r ile (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) denk değildir: p = 1, q = 0, r = 0 satırında ilki 1 ⇒ 0 olduğu için 0, ikincisi 0 ∨ 1 olduğu için 1 verir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (p' ⇒ q) ∧ (p ∨ q') önermesinin en sade biçimi nedir?
Çözüm. Önce koşullu önermeyi “veya” ile yazarız: p' ⇒ q ≡ (p')' ∨ q ≡ p ∨ q. İfade (p ∨ q) ∧ (p ∨ q') olur. Dağılma özelliğinin tersiyle p ortak alınır: p ∨ (q ∧ q'). q ∧ q' ≡ 0 olduğundan p ∨ 0 ≡ p bulunur; ifade p önermesine denktir. Kontrol: p = 0 iken iki parantezden biri mutlaka 0 olur.
Örnek 2. p ⇒ (q ⇒ p) önermesinin her durumda doğru olduğunu gösteriniz.
Çözüm. Koşullu önermeleri “veya” ile yazarız: p ⇒ (q ⇒ p) ≡ p' ∨ (q' ∨ p). Birleşme ve değişme özellikleriyle terimleri yeniden düzenleriz: (p' ∨ p) ∨ q'. p' ∨ p ≡ 1 olduğundan ifade 1 ∨ q' ≡ 1 olur. Önerme, p ve q önermelerine hangi değerler verilirse verilsin doğrudur.
Sık yapılan hatalar
- Koşullu önermeyi “veya” ile yazarken hipotezin değilini almayı unutmak: p ⇒ q ≡ p ∨ q yazmak.
- Dağılma özelliğinde bağlaçların yerini karıştırmak.
- İki ifadenin denk olduğuna birkaç satıra bakıp karar vermek; denklik için bütün satırlar uymalıdır.
- Önce ⇒ bağlaçlarını ∨ ile yaz, sonra değilleri dağıt, en son kısalt.
- p ⇒ (q ⇒ r) ≡ (p ∧ q) ⇒ r.
- (p ∨ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r).
- Denk olmadığını göstermek için tek bir karşı satır yeter.