Konu anlatımı
Mantığın yapı taşı önermedir. Bu alt başlıkta hangi cümlelerin önerme olduğunu, doğruluk değerinin nasıl gösterildiğini, bir önermenin değilini ve iki önermenin ne zaman denk olduğunu öğreneceksin.
Önerme olan ve olmayan cümleler
Doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak söylenebilen, hüküm bildiren cümlelere önerme denir. “Türkiye'nin başkenti Ankara'dır.” doğru, “Bir haftada 8 gün vardır.” yanlış birer önermedir. Yanlış bir cümle de önermedir; önemli olan doğruluğunun kesin olarak belirlenebilmesidir. Soru, ünlem, emir ve dilek cümleleri hüküm bildirmez: “Kapıyı kapat.” ya da “Keşke yağmur yağsa.” önerme değildir. “Matematik en güzel derstir.” gibi kişiden kişiye değişen yargılar da önerme sayılmaz.
Matematikte önermeler genellikle sayılarla kurulur: “12 sayısı 5'e tam bölünür.” yanlış, “√16 = 4” doğrudur. Değişken içeren “x + 3 = 7” ifadesi ise x'in değeri bilinmeden doğru ya da yanlış denemez; böyle ifadelere açık önerme denir ve niceleyicilerle birlikte ayrı bir başlıkta ele alınır.
Doğruluk değeri ve değil
Önermeler p, q, r gibi küçük harflerle gösterilir. Doğru bir önermenin doğruluk değeri 1 ya da D, yanlış bir önermeninki 0 ya da Y ile gösterilir. p önermesinin değili, hükmü olumsuzlanarak elde edilir ve p' ya da ~p ile gösterilir. p: “7 tek sayıdır.” ise p': “7 tek sayı değildir.” olur. p doğruysa p' yanlış, p yanlışsa p' doğrudur ve değilin değili önermenin kendisidir: (p')' ≡ p.
Değil alırken cümleyi tam olarak olumsuzlamaya dikkat et. “Sınıftaki herkes geldi.” önermesinin değili “Sınıftaki kimse gelmedi.” değil, “Sınıftaki bazı öğrenciler gelmedi.” önermesidir. Bu tür önermeler niceleyiciler konusunda ayrıntılı ele alınır.
Denk önermeler
Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir ve ≡ sembolüyle gösterilir. “2 bir asal sayıdır.” ile “3 + 4 = 7” önermelerinin ikisi de doğru olduğu için denktir. Bileşik önermelerde denklik, onları oluşturan önermelerin bütün doğruluk değerleri için aynı sonucun çıkması demektir ve doğruluk tablosuyla kontrol edilir. Önermeleri 1 ve 0 ile hesaplama fikri Leibniz'e kadar uzanır; Boole bu fikri, bugün bilgisayarların da temelinde olan cebirsel bir sisteme dönüştürmüştür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Şu ifadelerden hangileri önermedir? I. 15, 4'ün katıdır. II. x + 1 = 5 III. Yarın sınav var mı? IV. 2³ = 8
Çözüm. I bir hüküm bildirir ve yanlıştır, çünkü 15 sayısı 4'e bölünmez; yanlış olması önerme olmasını engellemez. II, x'in değerine göre doğru ya da yanlış olduğu için bir açık önermedir, tek başına önerme değildir. III bir soru cümlesidir ve önerme değildir. IV doğru bir önermedir, çünkü 2·2·2 = 8'dir. Önermeler I ve IV'tür.
Örnek 2. p: “51 bir asal sayıdır.”, q: “3⁴ > 4³” ve r: “√2 bir rasyonel sayıdır.” önermeleri veriliyor. p', q' ve r' önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözüm. 51 = 3·17 olduğundan 51 asal değildir; p yanlıştır ve p' = 1 olur. 3⁴ = 81 ve 4³ = 64 olduğundan q doğrudur ve q' = 0 olur. √2 irrasyonel bir sayıdır; r yanlıştır ve r' = 1 olur. Değil, her önermenin doğruluk değerini tersine çevirir.
Sık yapılan hatalar
- Soru, emir ya da dilek cümlelerini önerme saymak.
- “Herkes geldi.” önermesinin değilini “Kimse gelmedi.” diye kurmak.
- Yanlış bir cümlenin önerme olmadığını sanmak; yanlış önermeler de önermedir.
- Önerme, doğru ya da yanlış olduğu kesin olan hüküm cümlesidir.
- Doğru 1, yanlış 0 ile gösterilir; değil, önermenin doğruluk değerini tersine çevirir.
- Denk önermelerin doğruluk değerleri her durumda aynıdır: (p')' ≡ p.