Konu anlatımı
Doğruluk tablosu, bir bileşik önermenin, onu oluşturan önermelerin bütün değerleri için alacağı doğruluk değerlerini gösterir. Bu alt başlıkta tabloyu kurmayı, adım adım doldurmayı, tablodaki eksik değerleri bulmayı ve verilen bir tablonun hangi önermeye ait olduğunu belirlemeyi göreceksin.
Tabloyu kurmak
n farklı basit önerme varsa her biri 1 ya da 0 olabileceği için tabloda 2ⁿ satır bulunur: iki önermede 4, üç önermede 8 satır. Satırları düzenli yazmak için ilk sütunda değerleri yarı yarıya 1 ve 0 yaz, sonraki sütunda bu yarıları yeniden ikiye böl, son sütunda değerleri birer birer değiştir. Böylece hiçbir değer kombinasyonu atlanmaz ya da iki kez yazılmaz.
Bileşik önerme küçük parçalara ayrılır ve her parça için ayrı bir sütun açılır. (p ∨ q) ⇒ q' önermesi için önce p ∨ q, sonra q', en son da koşullu önerme sütunu doldurulur. Satırlar p = 1, q = 1; p = 1, q = 0; p = 0, q = 1; p = 0, q = 0 sırasıyla yazıldığında sonuç sütunu 0, 1, 0, 1 olur. Bu sütun q' sütunuyla aynıdır; yani önerme q' önermesine denktir.
Denklik ve her durumda doğru önermeler
İki önermenin sütunları her satırda aynıysa önermeler denktir. Sütunu her satırda 1 olan önerme her durumda doğrudur; p ∨ p' ve (p ∧ q) ⇒ p bunlara örnektir. Sütunu her satırda 0 olan önerme ise her durumda yanlıştır; p ∧ p' gibi. Seçenekli sorularda bir ifadenin denk olmadığını göstermek için tek bir uyumsuz satır bulmak yeter.
Eksik değerleri ve önermeyi bulmak
Tabloda bazı değerler harfle verilmişse önermenin kuralı satır satır uygulanır. X = p' ∨ (q ∧ r) önermesinde p = 1, q = 1 ve X = 0 verilmişse p' = 0 olduğu için X = q ∧ r = r olur; buradan r = 0 bulunur.
Tablosu verilen bir önermeyi bulmak için önce 0 olan satırlara bakılır. Yalnız bir satırda 0 veren önerme, o satırda hipotezi 1, hükmü 0 olan bir koşullu önermeyle yazılabilir: yalnızca p = 1 ve q = 0 iken yanlış olan önerme p ⇒ q koşullu önermesidir. Seçenekler verilmişse her seçeneği 0 olması gereken satırlarda denemek en hızlı eleme yoludur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. p, q ve r önermeleri için X = (p ⇒ q) ∧ r önermesinin doğruluk tablosunun kaç satırında X doğrudur?
Çözüm. Tabloda 2³ = 8 satır vardır. X'in doğru olması için r = 1 ve p ⇒ q = 1 olmalıdır. p ⇒ q yalnızca p = 1, q = 0 iken yanlış olduğundan (p, q) ikilisi (1, 1), (0, 1) ya da (0, 0) olabilir. r = 1 ile birlikte bu üç satırda X doğrudur; diğer beş satırda yanlıştır.
Örnek 2. Bir X önermesi, p ve q önermelerinin dört değer çiftinden yalnızca p = 0 ve q = 1 olduğunda yanlıştır. X önermesini bir koşullu önerme olarak ve “veya” bağlacıyla yazınız.
Çözüm. Koşullu önerme yalnızca hipotez doğru, hüküm yanlışken yanlıştır. Yanlış satırda q = 1 ve p = 0 olduğuna göre hipotez q, hüküm p olmalıdır: X ≡ q ⇒ p. Koşullu önermenin denkinden X ≡ q' ∨ p ≡ p ∨ q' yazılır. Kontrol: p ∨ q' önermesi yalnızca p = 0 ve q' = 0, yani q = 1 iken yanlıştır.
Sık yapılan hatalar
- Satırları düzensiz yazıp bazı değer kombinasyonlarını atlamak ya da iki kez yazmak.
- Bileşik önermeyi tek adımda hesaplamaya çalışıp ara sütunları yazmamak.
- Tablodan önerme bulurken yalnızca 1 olan satırlara bakıp 0 olan satırları kontrol etmemek.
- n önerme için tabloda 2ⁿ satır vardır.
- Önce parçaların, sonra bileşik önermenin sütununu doldur.
- Yalnız bir satırda 0 veren önerme, o satırda hipotezi 1, hükmü 0 olan bir koşullu önermeyle yazılır.