Konu anlatımı
“Bir tam sayı ancak ve ancak 2'ye bölünüyorsa çifttir.” cümlesi iki yönde de geçerli bir koşul bildirir. Bu alt başlıkta iki yönlü koşullu önermeyi, doğruluk tablosunu, koşullu önermelerle ilişkisini ve gerek ve yeter şart kavramını göreceksin.
Tanım ve doğruluk tablosu
p ⇔ q önermesi “p ancak ve ancak q” diye okunur. İki önerme aynı doğruluk değerindeyken doğru, farklıyken yanlıştır: 1 ⇔ 1 ≡ 1, 0 ⇔ 0 ≡ 1, 1 ⇔ 0 ≡ 0 ve 0 ⇔ 1 ≡ 0. Bu yüzden p ⇔ q doğru verilmişse p ile q aynı değerdedir; yanlış verilmişse farklı değerdedir. İki önermenin değilleri arasında da aynı ilişki vardır: p' ⇔ q' ≡ p ⇔ q.
Koşullu önermelerle ilişkisi
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) denkliği doğruluk tablosuyla gösterilir. p ile q aynı değerdeyken iki koşullu önerme de doğrudur. Farklı değerdeyken bunlardan biri 1 ⇒ 0 biçimine gelir ve yanlış olur; “ve” bağlacı da yanlış verir.
İki yönlü koşullu önermenin değili “ya da” bağlacıdır: (p ⇔ q)' ≡ p ⊻ q. Gerçekten p ⊻ q, değerler farklıyken doğrudur; bu da tam olarak p ⇔ q önermesinin yanlış olduğu durumdur.
Gerek ve yeter şart
p ⇒ q doğruysa p, q için yeter şart; q da p için gerek şarttır. “Bir sayı 6'ya bölünüyorsa 2'ye bölünür.” önermesi doğrudur: 6'ya bölünmek 2'ye bölünmek için yeterlidir. 2'ye bölünmek ise 6'ya bölünmek için gereklidir ama yeterli değildir; 4 sayısı 2'ye bölünür, 6'ya bölünmez.
p ⇔ q doğruysa p, q için gerek ve yeter şarttır; iki önerme birbirinin yerine kullanılabilir. “Bir sayının 3'e bölünmesi için gerek ve yeter şart, rakamları toplamının 3'e bölünmesidir.” cümlesi bölünebilme kurallarının da iki yönlü koşullu önermeler olduğunu gösterir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. p ⇔ q' önermesi doğru ve p ∨ q önermesi doğrudur. Buna göre (p ⇒ q) ⇔ q önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözüm. p ⇔ q' doğru olduğundan p ile q' aynı değerdedir; yani p ile q farklıdır. Bu durumda (p, q) ikilisi (1, 0) ya da (0, 1) olabilir ve iki durumda da p ∨ q doğrudur. (1, 0) için p ⇒ q = 0 ve 0 ⇔ 0 = 1 olur. (0, 1) için p ⇒ q = 1 ve 1 ⇔ 1 = 1 olur. İki durumda da önerme doğrudur, yani doğruluk değeri 1'dir.
Örnek 2. (p ⇔ q) ∧ p önermesinin en sade biçimi nedir?
Çözüm. p = 0 ise “ve” bağlacının bir parçası yanlış olduğundan ifade 0'dır. p = 1 ise ifade (1 ⇔ q) ∧ 1 olur ve 1 ⇔ q yalnızca q = 1 iken doğrudur; yani ifade q önermesine eşittir. İki durumu birlikte yazınca sonuç p ∧ q olur. Gerçekten p ∧ q de yalnızca p = 1 ve q = 1 iken doğrudur.
Sık yapılan hatalar
- p ⇔ q önermesini yalnızca p ⇒ q gibi değerlendirmek; iki yönün de sağlanması gerekir.
- Gerek şart ile yeter şartı karıştırmak: p ⇒ q doğruyken q, p için gerek şarttır.
- (p ⇔ q)' önermesini p' ⇔ q' sanmak; doğrusu p ⊻ q önermesidir.
- p ⇔ q, iki önerme aynı değerdeyken doğrudur.
- p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
- (p ⇔ q)' ≡ p ⊻ q.
- p ⇒ q doğruysa p yeter şart, q gerek şarttır.