Konu anlatımı
“Ödevini bitirirsen parka gidersin.” gibi cümleler koşullu önermedir. Bu alt başlıkta koşullu önermenin ne zaman yanlış olduğunu, hangi önermeye denk olduğunu, değilini ve birden çok koşulun art arda bağlandığı önermeleri göreceksin.
Tanım ve doğruluk tablosu
p ve q önermelerinden “p ise q” biçiminde kurulan önermeye koşullu önerme denir ve p ⇒ q ile gösterilir. p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Koşullu önerme yalnızca hipotez doğru, hüküm yanlışken yanlıştır: 1 ⇒ 0 ≡ 0. Diğer üç durumda doğrudur: 1 ⇒ 1 ≡ 1, 0 ⇒ 1 ≡ 1 ve 0 ⇒ 0 ≡ 1.
Hipotezi yanlış olan koşullu önermenin doğru sayılması ilk bakışta garip gelebilir. Bir söz verdiğini düşün: “Ödevini bitirirsen parka gidersin.” Ödev bitmediyse, parka gidilse de gidilmese de söz bozulmuş olmaz. Söz yalnızca ödev bittiği hâlde parka gidilmezse bozulur.
Denk biçimi ve değili
p ⇒ q ≡ p' ∨ q denkliği doğruluk tablosuyla gösterilir ve koşullu önermeyi “veya” diline çevirir: “Ödevini bitirmezsin veya parka gidersin.” Bu denklikten değil de kolayca bulunur: (p ⇒ q)' ≡ (p' ∨ q)' ≡ p ∧ q'. Koşullu önermenin değili bir koşul değil, bir durum bildirir: “Ödevini bitirirsin ve parka gitmezsin.”
Zincirleme ve iç içe koşullar
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) doğruysa p ⇒ r de doğrudur; koşullar bir zincir gibi birbirine bağlanır. Bu bilgi değer bulmada da kullanılır: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) doğru ve r yanlışsa q ⇒ r doğru olduğu için q yanlıştır; p ⇒ q doğru olduğu için p de yanlıştır.
Parantezin yeri önemlidir. p ⇒ (q ⇒ r) önermesi (p ∧ q) ⇒ r önermesine denktir, ama (p ⇒ q) ⇒ r önermesine denk değildir: p = 0, q = 0, r = 0 için ilki 0 ⇒ 1 olduğundan 1, ikincisi 1 ⇒ 0 olduğundan 0 verir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (p ∧ q) ⇒ r önermesi yanlış, r ∨ s önermesi doğrudur. Buna göre (p ⇒ s) ∧ (s ⇒ r) önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözüm. Koşullu önerme yanlış olduğundan p ∧ q = 1 ve r = 0'dır; buradan p = 1 ve q = 1 bulunur. r ∨ s doğru ve r yanlış olduğundan s = 1'dir. p ⇒ s önermesi 1 ⇒ 1 olduğundan doğru, s ⇒ r önermesi 1 ⇒ 0 olduğundan yanlıştır. Sonuç 1 ∧ 0 = 0, yani önerme yanlıştır.
Örnek 2. p ⇒ (q ⇒ r) önermesi yanlıştır. Buna göre (p ⇒ q) ⇒ r önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözüm. p ⇒ (q ⇒ r) yanlış olduğundan p = 1 ve q ⇒ r = 0 olmalıdır; q ⇒ r yanlış olduğu için de q = 1 ve r = 0'dır. p ⇒ q = 1 ⇒ 1 = 1 olur. (p ⇒ q) ⇒ r önermesi 1 ⇒ 0 biçimine gelir ve yanlıştır.
Örnek 3. “Düzenli çalışırsan sınavı kazanırsın.” önermesinin değili nedir?
Çözüm. p: “Düzenli çalışırsın.” ve q: “Sınavı kazanırsın.” dersek önerme p ⇒ q olur. Değili (p ⇒ q)' ≡ p ∧ q' önermesidir: “Düzenli çalışırsın ve sınavı kazanmazsın.” “Düzenli çalışmazsan sınavı kazanmazsın.” cümlesi değil değil, önermenin tersidir ve ona denk değildir.
Sık yapılan hatalar
- Hipotezi yanlış olan koşullu önermeyi yanlış saymak.
- (p ⇒ q)' önermesini p' ⇒ q' sanmak; doğrusu p ∧ q' önermesidir.
- Parantezin yerini önemsemeyip p ⇒ (q ⇒ r) ile (p ⇒ q) ⇒ r önermelerini denk sanmak.
- p ⇒ q yalnızca 1 ⇒ 0 durumunda yanlıştır.
- p ⇒ q ≡ p' ∨ q ve (p ⇒ q)' ≡ p ∧ q'.
- p ⇒ (q ⇒ r) ≡ (p ∧ q) ⇒ r.