Polinomlar konu anlatımı

Konu anlatımı

Polinom, değişkenin yalnızca doğal sayı kuvvetlerini ve sayıları içeren ifadedir: P(x) = 2x³ − x + 5 gibi. Polinomlar, sayılarla yaptığın dört işlemin cebirdeki karşılığıdır; toplanır, çıkarılır, çarpılır ve bölünür. Denklemlerin, fonksiyonların ve çarpanlara ayırmanın temelinde polinomlar vardır.

Bu sayfada polinom kavramını, derece ve katsayıları, iki polinomun eşitliğini, polinomlarla işlemleri, polinom bölmesini ve kalan teoremini göreceksin. Polinomları çarpanlarına ayırma yöntemleri Çarpanlara Ayırma sayfasında ayrıca anlatılıyor. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.

Polinom, derece ve katsayılar

n bir doğal sayı ve a₀, a₁, ..., aₙ gerçek sayılar olmak üzere P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀ biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı polinom denir. aₙ ≠ 0 ise n polinomun derecesidir ve der[P(x)] ile gösterilir; aₙ baş katsayı, a₀ sabit terimdir.

x'in kuvvetleri doğal sayı olmalıdır: √x ya da 3/x gibi terimler içeren ifadeler polinom değildir. c ≠ 0 olmak üzere P(x) = c sabit polinomdur ve derecesi 0'dır; P(x) = 0 sıfır polinomudur ve derecesi tanımsızdır.

Eşitlik, katsayılar toplamı ve sabit terim

Aynı dereceli terimlerinin katsayıları eşit olan iki polinom eşittir. Bir polinomda x yerine 1 yazılırsa katsayılar toplamı, 0 yazılırsa sabit terim bulunur: katsayılar toplamı P(1), sabit terim P(0) değeridir. P(x − 2) gibi bir polinomun katsayılar toplamı ise x = 1 yazılarak P(−1) olarak bulunur.

Polinomlarla işlemler

Toplama ve çıkarmada aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır. Çarpmada her terim öteki polinomun her terimiyle çarpılır ve dereceler toplanır: der[P·Q] = der P + der Q. P(x) = x² + 2x ve Q(x) = x − 3 için P(x)·Q(x) = x³ − x² − 6x olur.

Polinom bölmesi

P(x) polinomu B(x) ile bölündüğünde Q(x) bölümü ve K(x) kalanı için P(x) = B(x)·Q(x) + K(x) eşitliği vardır ve kalanın derecesi bölenin derecesinden küçüktür. Bölme işlemi sayılardaki uzun bölmeye benzer: bölünenin en büyük dereceli terimi bölenin en büyük dereceli terimine bölünür, bulunan terim bölenle çarpılıp çıkarılır ve işlem kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar sürdürülür.

Kalan teoremi

P(x) polinomunun x − a ile bölümünden kalan P(a) değeridir. Nedeni bölme eşitliğidir: P(x) = (x − a)·Q(x) + k yazılıp x = a konursa P(a) = k olur. Bölen ax + b ise kalan P(−b/a) değeridir. P(a) = 0 ise x − a, P(x)'in bir çarpanıdır ve a sayısına polinomun sıfırı ya da kökü denir.

İkinci dereceden bir bölende kalan en çok birinci derecedendir: K(x) = mx + n biçiminde yazılır ve bölenin kökleri bölme eşitliğinde yerine konarak bulunur.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• x − a ile bölümden kalan için P(−a) hesaplamak; doğrusu P(a) değeridir.
• Katsayılar toplamını bulurken x yerine 0 yazmak; 0 sabit terimi verir.
• İkinci dereceden bir bölende kalanı sabit bir sayı sanmak; kalan mx + n biçimindedir.
• Kuvveti negatif ya da kesirli olan terimler içeren ifadeleri polinom saymak.
• Bölme eşitliğinde bölümün katkısını unutmak: P(x) = (x² − 1)·Q(x) + 2x + 5 iken P(3) için yalnızca 11 yazmak.