Konu anlatımı
Bölen ikinci dereceden olduğunda kalan tek bir sayı değil, en çok birinci dereceden bir polinomdur. Bu alt başlıkta böyle kalanları bölenin kökleri yardımıyla bulmayı, bölen çarpanlarına ayrılamadığında kullanılan yolu ve bölümün kalanıyla ilgili soruları göreceksin.
Kalan mx + n biçimindedir
Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olduğu için ikinci dereceden bir bölende kalan K(x) = mx + n biçimindedir. Bölen (x − a)(x − b) biçiminde çarpanlarına ayrılıyorsa bölme eşitliğinde x = a ve x = b yazılır: P(a) = ma + n ve P(b) = mb + n. Bu iki denklem m ile n'yi verir.
Yüksek dereceli polinomlarda da aynı yol izlenir. P(x) = x¹⁰ + 2x⁷ − x + 3 polinomunun x² − 1 ile bölümünden kalan için P(1) = 5 ve P(−1) = 3 hesaplanır. m + n = 5 ve −m + n = 3 eşitliklerinden n = 4, m = 1 ve kalan x + 4 bulunur.
Bölen çarpanlarına ayrılmıyorsa
x² + 1 gibi gerçek sayılarda çarpanlarına ayrılmayan bölenlerde bölme eşitliğinde x² + 1 = 0, yani x² = −1 alınır ve P(x)'teki x² ifadelerinin yerine −1 yazılır. P(x) = x⁴ + 3x³ − x + 2 için x⁴ = (x²)² = 1 ve x³ = x²·x = −x olur; kalan 1 − 3x − x + 2 = −4x + 3 bulunur. Aynı fikir x² − 3 gibi bölenlerde x² yerine 3 yazılarak da kullanılır.
Bölümün kalanı
Bazı sorularda bölüm polinomu hakkında bilgi verilir. P(x) = (x² − 1)·Q(x) + 2x + 5 ve Q(x)'in x − 3 ile bölümünden kalan 4 ise P(x)'in x − 3 ile bölümünden kalan P(3) = 8·Q(3) + 11 = 8·4 + 11 = 43 bulunur. Burada Q(3) = 4 bilgisi kalan teoreminden gelir. Bölme eşitliğindeki (x² − 1) çarpanını ve Q(3) değerini birlikte kullanmak gerekir; yalnızca 2x + 5 kalanını hesaplamak yanlış sonuç verir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(x) polinomunun x² − 5x + 6 ile bölümünden kalan 2x + 1'dir. P(x + 1) + x·P(x) polinomunun x − 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) olduğundan bölme eşitliğinden P(2) = 5 ve P(3) = 7 bulunur. İstenen kalan, verilen polinomda x = 2 yazılarak hesaplanır: P(3) + 2·P(2) = 7 + 10 = 17.
Örnek 2. P(x) = x⁵ − 2x³ + x² + 4 polinomunun x² + 1 ile bölümünden kalan nedir?
Çözüm. x² = −1 alırız. x⁵ = x·(x²)² = x, −2x³ = −2x·x² = 2x ve x² = −1 olur. Kalan x + 2x − 1 + 4 = 3x + 3 bulunur. Derecesi bölenden küçük olduğu için bu ifade gerçekten kalandır.
Örnek 3. P(x) = (x − 2)·Q(x) + 5 eşitliğini sağlayan Q(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 3'tür. P(x) polinomunun x² − x − 2 ile bölümünden kalan nedir?
Çözüm. x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) olduğundan P(2) ve P(−1) gerekir. P(2) = 0·Q(2) + 5 = 5'tir. P(−1) = (−3)·Q(−1) + 5 = (−3)·3 + 5 = −4 olur. Kalan mx + n ise 2m + n = 5 ve −m + n = −4 eşitliklerinden 3m = 9, m = 3 ve n = −1 bulunur. Kalan 3x − 1'dir.
Sık yapılan hatalar
- İkinci dereceden bölende kalanı sabit bir sayı sanmak.
- x² = −1 yazarken kuvvetleri yanlış indirgemek: x³ = −x ve x⁴ = 1 olur.
- Bölümün kalanı verildiğinde bölme eşitliğindeki bölen değerini çarpmayı unutup yalnızca kalanı yazmak.
- İkinci dereceden bölende kalan mx + n biçimindedir.
- Bölen (x − a)(x − b) ise P(a) ve P(b) değerleriyle iki denklem kur.
- Bölen x² + c ise x² yerine −c yaz.