Konu anlatımı
Polinomlarla işlem yapmak, benzer terimleri birleştirme ve dağılma özelliğini kullanma işidir. Bu alt başlıkta toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini, sonucun derecesini önceden kestirmeyi ve çarpımı tamamen açmadan belirli bir terimin katsayısını bulmayı göreceksin.
Toplama ve çıkarma
Toplama ve çıkarmada yalnızca aynı dereceli terimler birleşir. P(x) = 3x³ − x + 4 ve Q(x) = x³ + 2x² + x − 6 için P(x) + Q(x) = 4x³ + 2x² − 2 ve P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x² − 2x + 10 olur. Çıkarmada Q(x)'in bütün terimlerinin işareti değişir; en sık yapılan hata yalnızca ilk terimin işaretini değiştirmektir.
Toplamın derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesidir. Dereceler eşitse baş katsayılar birbirini götürebilir ve sonucun derecesi düşebilir.
Çarpma
Çarpmada bir polinomun her terimi öteki polinomun her terimiyle çarpılır ve benzer terimler toplanır: (x + 2)(x² − 3x + 1) = x³ − 3x² + x + 2x² − 6x + 2 = x³ − x² − 5x + 2. Sıfırdan farklı iki polinomun çarpımında dereceler toplanır: der[P·Q] = der P + der Q. Çarpımın baş katsayısı baş katsayıların, sabit terimi sabit terimlerin çarpımıdır. Çarpımın katsayılar toplamı ise P(1)·Q(1) değeridir.
Belirli bir terimin katsayısı
Çarpımın yalnızca bir teriminin katsayısı isteniyorsa bütün çarpımı açmak gerekmez; o dereceyi veren terim çiftlerini bulmak yeter. (2x² − x + 3)(x² + 4x − 5) çarpımında x²'li terim üç yoldan gelir: 2x²·(−5), (−x)·4x ve 3·x². Katsayılar toplanınca −10 − 4 + 3 = −11 bulunur. Sabit terim ise sabit terimlerin çarpımıdır: 3·(−5) = −15.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(x) = x² + ax + 2 ve Q(x) = x − 3 olmak üzere P(x)·Q(x) çarpımında x'in katsayısı −4 olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm. Çarpımda birinci dereceden terimler iki yoldan gelir: ax·(−3) ve 2·x. Bu terimlerin katsayıları toplanınca −3a + 2 elde edilir. −3a + 2 = −4 eşitliğinden a = 2 bulunur. Kontrol: (x² + 2x + 2)(x − 3) = x³ − x² − 4x − 6.
Örnek 2. (x³ − 2x + 3)(3x² + x − 2) çarpımında x³'lü terimin katsayısı ve çarpımın katsayılar toplamı kaçtır?
Çözüm. x³'lü terim x³·(−2) ve (−2x)·3x² çarpımlarından gelir; ikinci polinomun derecesi 2 olduğundan 3 ile x³ çarpılamaz. Katsayı −2 − 6 = −8'dir. Katsayılar toplamı için x = 1 yazarız: (1 − 2 + 3)·(3 + 1 − 2) = 2·2 = 4.
Sık yapılan hatalar
- Çıkarmada ikinci polinomun yalnızca ilk teriminin işaretini değiştirmek.
- Çarpmada dereceleri çarpmak; çarpımda dereceler toplanır.
- Belirli bir terimin katsayısını ararken o dereceyi veren terim çiftlerinden birini atlamak.
- Toplama ve çıkarmada yalnızca aynı dereceli terimler birleşir.
- der[P·Q] = der P + der Q.
- Çarpımın katsayılar toplamı P(1)·Q(1) değeridir.