Konu anlatımı
Polinomlar, bir değişkenin kuvvetlerinden ve sayılardan oluşan ifadelerdir. Bu alt başlıkta bir ifadenin ne zaman polinom olduğunu, polinomun terimlerini, katsayılarını ve derecesini, ayrıca sabit polinom ve sıfır polinomu kavramlarını göreceksin.
Tanım ve terimler
n bir doğal sayı ve a₀, a₁, ..., aₙ gerçek sayılar olmak üzere P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀ biçimindeki ifadeye x değişkenine bağlı bir polinom denir. Her terim bir katsayı ile x'in bir kuvvetinin çarpımıdır. P(x) = 4x³ − 2x + 7 polinomunun terimleri 4x³, −2x ve 7'dir. Bu polinomda x²'li terim yoktur; yani x²'nin katsayısı 0'dır.
Bir ifadenin polinom olması için x'in bütün kuvvetleri doğal sayı olmalıdır. x² + 3x − 1 bir polinomdur. 2/x terimi x'in −1. kuvvetini, √x terimi ise kesirli bir kuvvetini içerdiği için böyle terimlerin bulunduğu ifadeler polinom değildir. Katsayılar ise herhangi bir gerçek sayı olabilir: √2·x² + 5x bir polinomdur.
Derece, baş katsayı ve sabit terim
Katsayısı sıfırdan farklı olan en büyük kuvvete polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir. Bu terimin katsayısı baş katsayı, x içermeyen terim sabit terimdir. P(x) = 4x³ − 2x + 7 için der[P(x)] = 3, baş katsayı 4 ve sabit terim 7'dir. Polinom sıralı yazılmamışsa önce en büyük kuvvet bulunur: P(x) = 5 − x + 2x⁴ polinomunun derecesi 4, baş katsayısı 2'dir.
Çarpımda dereceler toplanır: der[P·Q] = der P + der Q. Buna göre P(x²) polinomunun derecesi P(x)'in derecesinin iki katı, [P(x)]³ polinomunun derecesi üç katıdır. İki polinomun toplamının derecesi ise büyük olan derecedir; dereceler eşitse baş katsayılar birbirini götürebilir.
Sabit polinom ve sıfır polinomu
c ≠ 0 olmak üzere P(x) = c biçimindeki polinomlara sabit polinom denir ve derecesi 0'dır. Bütün katsayıları sıfır olan P(x) = 0 polinomuna sıfır polinomu denir; derecesi tanımsızdır. P(x) = (a − 3)x² + (b + 1)x + 4 bir sabit polinomsa x'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır: a = 3 ve b = −1.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(x) = (m − 2)x³ + (n + 1)x² + 4x − 1 polinomu ikinci dereceden ve baş katsayısı 3 olduğuna göre m + n toplamı kaçtır?
Çözüm. Polinom ikinci dereceden olduğu için x³'ün katsayısı sıfır olmalıdır: m − 2 = 0 ve m = 2. Baş katsayı x²'nin katsayısıdır: n + 1 = 3 ve n = 2. Toplam m + n = 4'tür.
Örnek 2. der[P(x)] = 3 ve der[Q(x)] = 2 olduğuna göre der[P(x²)·Q(x)] ve der[P(x) + Q(x)] kaçtır?
Çözüm. P(x) polinomunda x yerine x² yazılınca en büyük kuvvet (x²)³ = x⁶ olur; der[P(x²)] = 6'dır. Çarpımda dereceler toplandığı için der[P(x²)·Q(x)] = 6 + 2 = 8 bulunur. Toplamda büyük olan derece geçerlidir: der[P(x) + Q(x)] = 3'tür.
Örnek 3. Şu ifadelerden hangileri polinomdur? I. x³ − √3·x II. 2x + 1/x III. √x + 1 IV. 5
Çözüm. I bir polinomdur; katsayının √3 olması sorun değildir, x'in kuvvetleri 3 ve 1'dir. II polinom değildir, çünkü 1/x terimi x'in negatif kuvvetidir. III polinom değildir, çünkü √x kesirli bir kuvvettir. IV sıfırdan farklı bir sabit polinomdur ve derecesi 0'dır. Polinom olanlar I ve IV'tür.
Sık yapılan hatalar
- Katsayısı kök ya da kesir olan ifadeleri polinom saymamak; koşul katsayılarda değil, x'in kuvvetlerindedir.
- Sıralı yazılmamış bir polinomda ilk terimin katsayısını baş katsayı sanmak.
- Sıfır polinomunun derecesini 0 sanmak; 0, sabit polinomların derecesidir.
- x'in bütün kuvvetleri doğal sayı olmalıdır.
- Derece en büyük kuvvettir; baş katsayı onun katsayısıdır.
- Sabit polinomun derecesi 0, sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.