Konu anlatımı
Bir polinomun bütün katsayılarını tek tek bulmadan katsayılarının toplamını ve sabit terimini hesaplayabilirsin. Bu alt başlıkta P(1) ve P(0) değerlerinin anlamını, bu fikrin P(x + a) gibi polinomlara uygulanmasını ve çift ya da tek dereceli terimlerin katsayılar toplamını göreceksin.
P(1) ve P(0)
P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀ polinomunda x = 1 yazılırsa x'in her kuvveti 1 olur ve geriye katsayılar kalır: P(1) = aₙ + ... + a₁ + a₀. Yani katsayılar toplamı P(1) değeridir. x = 0 yazılırsa x içeren bütün terimler sıfırlanır ve P(0) = a₀ kalır; sabit terim P(0) değeridir.
Bu yol, açılması uzun süren polinomlarda büyük kolaylık sağlar. P(x) = (2x − 1)⁵ polinomunu açmadan katsayılar toplamını P(1) = 1⁵ = 1, sabit terimini P(0) = (−1)⁵ = −1 olarak bulursun.
Dönüştürülmüş polinomlar
P(x + 2) polinomunun katsayılar toplamı, bu polinomda x = 1 yazılarak bulunur ve P(3) değerine eşittir. Sabit terimi ise x = 0 yazılarak bulunur ve P(2) değerine eşittir. Soru tersinden de gelebilir: P(x − 1) = x³ + ax − 2 verilip P(x)'in katsayılar toplamı isteniyorsa P(1) değeri, x − 1 = 1 yapan x = 2 yazılarak hesaplanır.
Çift ve tek dereceli terimler
P(−1) değerinde çift dereceli terimler kendi katsayısıyla, tek dereceli terimler ise katsayısının ters işaretlisiyle görünür. Bu yüzden P(1) + P(−1) toplamında tek dereceli terimler birbirini götürür ve çift dereceli terimlerin katsayılar toplamının iki katı kalır. P(1) − P(−1) farkı ise tek dereceli terimlerin katsayılar toplamının iki katıdır. Çift dereceli terimlerin toplamına sabit terim de dahildir, çünkü sabit terim x⁰ terimidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(x − 1) = x³ + ax − 2 olmak üzere P(x) polinomunun katsayılar toplamı 10 olduğuna göre P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?
Çözüm. Katsayılar toplamı P(1) değeridir; x − 1 = 1 için x = 2 yazılır: 8 + 2a − 2 = 10, buradan a = 2 bulunur. Sabit terim P(0) değeridir; x − 1 = 0 için x = 1 yazılır: 1 + 2 − 2 = 1. Sabit terim 1'dir. Verilen ifadedeki −2, P(x − 1)'in sabit terimidir, P(x)'in değil.
Örnek 2. P(x) = (x² − 2x + 3)³ polinomu açıldığında çift dereceli terimlerin (sabit terim dahil) katsayılar toplamı kaçtır?
Çözüm. P(1) = (1 − 2 + 3)³ = 8 ve P(−1) = (1 + 2 + 3)³ = 216'dır. P(1) + P(−1) toplamında tek dereceli terimler birbirini götürür, çift dereceliler iki kez sayılır. Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı (8 + 216)/2 = 112'dir. Tek dereceliler için (8 − 216)/2 = −104 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Katsayılar toplamı için x = 0 yazmak.
- P(x + 2) polinomunun katsayılar toplamını P(1) sanmak; doğrusu P(3) değeridir.
- Çift dereceli terimler toplamında sabit terimi unutmak.
- Katsayılar toplamı P(1), sabit terim P(0) değeridir.
- P(x + a) polinomunun katsayılar toplamı P(1 + a), sabit terimi P(a) değeridir.
- Çift dereceliler [P(1) + P(−1)]/2, tek dereceliler [P(1) − P(−1)]/2.