Konu anlatımı
Bir sayıyı oluşturan her rakamın değeri, bulunduğu basamağa göre değişir: 444 sayısındaki üç 4'ün biri 400, biri 40, biri 4 değerindedir. Sayı basamakları konusu bu fikri cebire taşır. Rakamları harflerle verilen bir sayıyı basamak değerleriyle açarak denklem kurar; rakamların yer değiştirmesini, sayıya rakam eklenmesini ve basamak sayısını bu yolla incelersin.
Bu sayfada önce basamak değeri ile çözümlemeyi, ardından bu araçla çözülen tipik soru türlerini göreceksin. Her soru türünün ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Basamak adları ve basamak değeri
Onluk sistemde sağdan sola basamaklar birler, onlar, yüzler, binler, on binler diye adlandırılır ve her basamak sağındaki basamağın 10 katı değerdedir. Bir rakamın basamak değeri, rakamın bulunduğu basamağın değeriyle çarpımıdır; sayı değeri ise rakamın kendisidir. 3725 sayısında 7'nin sayı değeri 7, basamak değeri 700'dür.
Harflerle yazılan sayılar ders kitaplarında üstü çizgili gösterilir; düz yazıda bunu “abc sayısı” diye belirtiriz. abc üç basamaklı sayısında a yüzler, b onlar, c birler basamağındaki rakamdır ve a ≠ 0'dır. Bu yazım a·b·c çarpımıyla karıştırılmamalıdır.
Çözümleme
Bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı olarak yazmaya çözümleme denir: ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c, abcd = 1000a + 100b + 10c + d. Harfli sayılarla verilen her soruda ilk adım budur; çözümleme yapınca soru sıradan bir denkleme dönüşür.
Çözümleme yaparken harflerin rakam olduğunu unutma: denklemden çıkan değerler 0 ile 9 arasında olmalı, en soldaki rakam 0 olmamalıdır. Bu kısıtlar çoğu zaman tek bir çözüm bırakır. Rakamların yer değiştirdiği sayılar için çözümlemeden şu kalıplar çıkar:
- ab + ba = 11(a + b)
- ab − ba = 9(a − b)
- abc − cba = 99(a − c)
Sayıya rakam ekleme
A sayısının sağına k rakamını yazmak sayıyı 10A + k yapar, çünkü A'nın bütün rakamları bir basamak sola kayar. n basamaklı bir A sayısının soluna k rakamını yazmak ise k·10ⁿ + A sonucunu verir, çünkü k (n + 1)'inci basamağa yerleşir. Örneğin 47'nin sağına 3 yazınca 473 = 10·47 + 3, soluna 3 yazınca 347 = 3·100 + 47 elde edilir.
Basamak sayısı
n basamaklı pozitif tam sayıların en küçüğü 10ⁿ⁻¹, en büyüğü 10ⁿ − 1'dir; bu yüzden n basamaklı 9·10ⁿ⁻¹ tane pozitif tam sayı vardır. Örneğin üç basamaklı sayılar 100'den 999'a kadardır ve 900 tanedir.
Üslü biçimde verilen bir sayının basamak sayısını bulmak için onu k·10ⁿ biçiminde yazmaya çalışırsın. 2 ve 5 çarpanlarını eşleyerek 10'un kuvvetini oluşturur, kalan çarpanı ayrıca hesaplarsın: 2⁷·5⁵ = 2²·(2·5)⁵ = 4·10⁵ = 400 000 sayısı 6 basamaklıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. İki basamaklı ab sayısı, rakamları toplamının 7 katına eşittir. Bu koşulu sağlayan sayılar hangileridir?
Çözüm. Çözümleme yaparız: 10a + b = 7(a + b) = 7a + 7b. Buradan 3a = 6b ve a = 2b bulunur. a en çok 9 olabildiği için b en çok 4'tür; b = 0 olursa a da 0 olur ve sayı iki basamaklı olmaz. b = 1, 2, 3, 4 için sayılar 21, 42, 63, 84'tür. Kontrol: 63 = 7·(6 + 3) = 7·9.
Örnek 2. Rakamları farklı iki basamaklı ab sayısı ile rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen ba sayısının farkı 54'tür. a + b = 10 olduğuna göre ab kaçtır?
Çözüm. ab − ba = 9(a − b) = 54 olduğundan a − b = 6'dır. a + b = 10 ile birlikte iki denklemi taraf tarafa toplarız: 2a = 16, a = 8 ve b = 2. Sayı 82'dir. Kontrol: 82 − 28 = 54.
Örnek 3. Üç basamaklı bir sayının sağına 5 yazıldığında elde edilen sayı, ilk sayıdan 3164 fazladır. İlk sayı kaçtır?
Çözüm. İlk sayıya A dersek sağına 5 yazınca sayı 10A + 5 olur. Koşul (10A + 5) − A = 3164, yani 9A + 5 = 3164 biçimindedir. Buradan 9A = 3159 ve A = 351 bulunur. Kontrol: 3515 − 351 = 3164.
Örnek 4. 2¹²·5⁹ sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm. Küçük üs 9 olduğu için dokuz tane 2·5 çifti 10⁹ oluşturur: 2¹²·5⁹ = 2³·(2·5)⁹ = 8·10⁹. Bu sayı 8'in ardına 9 sıfır yazılarak elde edilir, yani 1 + 9 = 10 basamaklıdır.
Sık yapılan hatalar
- abc sayısını a·b·c çarpımı sanmak; abc = 100a + 10b + c'dir.
- Harfli sayıda en soldaki rakamın 0 olamayacağını unutmak.
- Bir sayının sağına rakam eklerken sayıyı 10 ile çarpmayı unutup yalnızca rakamı eklemek.
- Basamak değeri ile sayı değerini karıştırmak: 3725'te 7'nin basamak değeri 7 değil 700'dür.
- ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c.
- ab + ba = 11(a + b), ab − ba = 9(a − b), abc − cba = 99(a − c).
- A'nın sağına k yazmak 10A + k; n basamaklı A'nın soluna k yazmak k·10ⁿ + A verir.
- n basamaklı pozitif tam sayıların sayısı 9·10ⁿ⁻¹'dir.