Konu anlatımı
Bir sayının rakamlarının yerleri değiştirilince yeni sayı ile eski sayı arasında çok düzenli ilişkiler ortaya çıkar. Bu alt başlıkta bu ilişkileri çözümlemeyle türetecek, “kaç farklı sayı vardır” sorularında nasıl sayım yapacağını göreceksin.
İki basamaklı sayılarda ab ve ba
ab = 10a + b ve ba = 10b + a olduğundan ab + ba = 11a + 11b = 11(a + b) ve ab − ba = 9a − 9b = 9(a − b) olur. Yani iki basamaklı bir sayı ile rakamlarının yeri değiştirilmiş hâlinin toplamı her zaman 11'in, farkı her zaman 9'un katıdır.
Bu kalıplar soruyu iki basamaklı bir sayıdan rakamlar arasındaki basit bir ilişkiye indirir. Örneğin ab − ba = 27 ise a − b = 3'tür; a ile b'nin kendilerini bulmak için bir bilgi daha gerekir. ba'nın da iki basamaklı olması isteniyorsa b ≠ 0 olmalıdır.
Üç basamaklı sayılarda abc ve cba
abc = 100a + 10b + c ve cba = 100c + 10b + a olduğundan abc − cba = 99a − 99c = 99(a − c) olur. Ortadaki b rakamı farkta tamamen sadeleşir. Toplamda ise abc + cba = 101(a + c) + 20b elde edilir.
Fark yalnızca a − c'ye bağlı olduğu için farktan b'yi bulamazsın. Soru b hakkında ek bilgi vermiyorsa b 0'dan 9'a kadar her değeri alabilir; bu yüzden “kaç farklı abc sayısı vardır” sorularında b'nin 10 seçeneği ayrıca çarpılır.
Sayı sayma soruları
Kaç farklı sayı olduğu sorulduğunda koşulu sağlayan rakam çiftlerini sistemli biçimde listele. Örneğin ab − ba = 36 ise a − b = 4'tür; ba'nın iki basamaklı olması için b ≥ 1 olmalıdır. Çiftler (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5) olduğundan 5 sayı vardır: 51, 62, 73, 84, 95.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ab ve ba iki basamaklı sayılardır. ab + ba = 121 ve a − b = 3 olduğuna göre ab kaçtır?
Çözüm. ab + ba = 11(a + b) = 121 olduğundan a + b = 11'dir. a − b = 3 ile taraf tarafa toplarsak 2a = 14, a = 7 ve b = 4 bulunur. ab = 74'tür. Kontrol: 74 + 47 = 121.
Örnek 2. abc ve cba üç basamaklı sayılardır. abc − cba = 594 olduğuna göre kaç farklı abc sayısı vardır?
Çözüm. abc − cba = 99(a − c) = 594 olduğundan a − c = 6'dır. cba üç basamaklı olduğu için c ≥ 1 olmalıdır. Uygun çiftler (a, c) = (7, 1), (8, 2), (9, 3) olmak üzere 3 tanedir. b farkta sadeleştiği için 0'dan 9'a kadar 10 değer alabilir. Toplam 3·10 = 30 farklı abc sayısı vardır.
Sık yapılan hatalar
- abc − cba farkından b'nin de bulunabileceğini sanmak; b farkta sadeleşir.
- ba ya da cba'nın da iki ya da üç basamaklı olması gerektiğini unutup b = 0 ya da c = 0 durumunu saymak.
- ab + ba toplamını 10(a + b) sanmak; doğrusu 11(a + b)'dir.
- ab + ba = 11(a + b), ab − ba = 9(a − b).
- abc − cba = 99(a − c), abc + cba = 101(a + c) + 20b.
- Kaç sayı var sorularında serbest kalan rakamın alabileceği değerleri çarpmayı unutma.