Konu anlatımı
Sayma problemleri, bir işin kaç farklı biçimde yapılabileceğini her durumu tek tek yazmadan bulmayı amaçlar. Bir şifrenin kaç farklı biçimde oluşturulabileceği, bir sınıftan kaç farklı ekip seçilebileceği ya da bir rafa kitapların kaç farklı biçimde dizilebileceği bu sorulara örnektir. Sayma yöntemlerinin gelişiminde Sâbit İbn Kurrâ gibi İslam dünyası matematikçilerinin de katkısı vardır.
Bu sayfada toplama ve çarpma yöntemini, permütasyonu (sıralamayı), tekrarlı permütasyonu, kombinasyonu (seçmeyi), koşullu sayma tekniklerini, dağıtma problemlerini, Pascal üçgenini ve binom açılımını göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Toplama ve çarpma yöntemi
Bir iş, birbirini dışlayan durumlardan biriyle yapılabiliyorsa durumların seçenek sayıları toplanır: 4 farklı otobüs ve 3 farklı tren seferinden biriyle gidilebiliyorsa 4 + 3 = 7 seçenek vardır. Bir iş art arda yapılan adımlardan oluşuyorsa adımların seçenek sayıları çarpılır: 4 farklı gömlek ve 3 farklı pantolondan 4·3 = 12 farklı kombin yapılır.
n! = n·(n − 1)·...·2·1 olmak üzere n farklı nesne bir sıraya n! biçimde dizilir; 0! = 1 kabul edilir.
Permütasyon: sıralama
n farklı nesneden r tanesinin seçilip sıralanmasına n'nin r'li permütasyonu denir: P(n, r) = n!/(n − r)! = n·(n − 1)·...·(n − r + 1). 7 kişiden bir başkan, bir yardımcı ve bir sekreter P(7, 3) = 7·6·5 = 210 biçimde seçilir; görevler farklı olduğu için sıra önemlidir.
Tekrarlı permütasyon
Nesnelerin bazıları özdeşse özdeş nesnelerin kendi aralarındaki yer değiştirmeleri yeni bir diziliş oluşturmaz. n nesnenin n₁ tanesi bir türden, n₂ tanesi başka bir türden özdeşse dizilişlerin sayısı n!/(n₁!·n₂!) olur. ANKARA sözcüğünde 3 tane A olduğu için harflerle 6!/3! = 120 farklı dizi yazılır.
Kombinasyon: seçme
n farklı nesneden r tanesinin sırası önemsiz biçimde seçilmesine kombinasyon denir: C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!). 7 kişiden 3 kişilik bir ekip C(7, 3) = 35 biçimde seçilir; ekip üyeleri arasında görev farkı olmadığı için sıra önemsizdir. C(n, r) = C(n, n − r) olur ve n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n, r) değeridir.
Koşullu sayma ve dağıtma
Kısıt içeren sorularda dört araç sık kullanılır: kısıtlı yerleri önce doldurmak, yan yana gelmesi istenenleri tek bir blok saymak, yan yana gelmemesi istenenleri öbürlerinin arasındaki boşluklara yerleştirmek ve “en az bir” gibi koşullarda tümleyenden saymak: istenen durumlar = tüm durumlar − istenmeyen durumlar. Özdeş nesneleri dağıtma soruları ise nesnelerle ayırıcıların tekrarlı permütasyonuna dönüştürülerek sayılır.
Pascal üçgeni ve binom
Pascal üçgeninin n. satırı C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n) sayılarından oluşur; her sayı üstündeki iki sayının toplamıdır. Bu sayılar (a + b)ⁿ açılımının katsayılarıdır: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Bir satırdaki sayıların toplamı 2ⁿ olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 0, 1, 2, 3, 4 ve 5 rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
Çözüm. Son basamak 0, 2 ya da 4 olmalıdır; 0 ilk basamağı da etkilediği için durumları ayırırız. Son basamak 0 ise ilk basamak için 5, orta basamak için 4 seçenek vardır: 20 sayı. Son basamak 2 ya da 4 ise ilk basamak 0 ve son rakam olamaz: 4 seçenek; orta basamak için de 4 seçenek kalır: 2·4·4 = 32 sayı. Toplam 20 + 32 = 52'dir.
Örnek 2. Aralarında Ali ile Ece'nin de bulunduğu 6 kişi bir sıraya, Ali ile Ece yan yana gelmeyecek biçimde kaç farklı biçimde dizilebilir?
Çözüm. Tümleyenden sayarız. Bütün dizilimler 6! = 720'dir. Ali ile Ece'nin yan yana olduğu dizilimlerde ikisi bir blok sayılır: blok ve 4 kişi 5! = 120 biçimde, Ali ile Ece blok içinde 2 biçimde dizilir; 240 dizilim. İstenen sayı 720 − 240 = 480'dir.
Örnek 3. 5 kız ve 4 erkek öğrenci arasından en az bir kız içeren 3 kişilik kaç farklı grup seçilebilir?
Çözüm. Gruplarda sıra önemsiz olduğu için kombinasyon kullanılır. 9 öğrenciden 3 kişi C(9, 3) = 84 biçimde seçilir. Hiç kız içermeyen, yani yalnızca erkeklerden oluşan gruplar C(4, 3) = 4 tanedir. En az bir kız içeren gruplar 84 − 4 = 80 tanedir.
Örnek 4. Eş karelerden oluşan bir sokak planında yalnızca sağa ve yukarı giderek A noktasından B noktasına gitmek için 5 sağ ve 2 yukarı adım gerekiyor. Kaç farklı en kısa yol vardır?
Çözüm. Her en kısa yol 5 S (sağ) ve 2 Y (yukarı) harfinden oluşan 7 harfli bir dizidir. S'ler ve Y'ler kendi aralarında özdeş olduğu için yol sayısı tekrarlı permütasyonla bulunur: 7!/(5!·2!) = 21. Bu sayı, 7 adımdan yukarı gidilecek 2 adımı seçmek olarak da düşünülebilir: C(7, 2) = 21.
Sık yapılan hatalar
- Sıranın önemli olduğu durumda kombinasyon, önemsiz olduğu durumda permütasyon kullanmak.
- Toplama ile çarpma yöntemini karıştırmak: art arda yapılan adımların seçeneklerini toplamak.
- Sayı yazma sorularında ilk basamağa 0 yazılabileceğini sanmak.
- “En az bir” koşulunu doğrudan sayarken aynı durumu birden çok kez saymak.
- Tekrarlı permütasyonda özdeş nesnelerin faktöriyellerine bölmeyi unutmak.
- Ya biri ya öbürü: topla; önce biri sonra öbürü: çarp.
- P(n, r) = n!/(n − r)! ve C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!).
- Sıra ya da görev önemliyse permütasyon, önemsizse kombinasyon kullan.
- Yan yana: blok yap; yan yana olmasın: boşluklara yerleştir.
- En az bir = tüm durumlar − hiç olmayan durumlar.