Konu anlatımı
Seçilen nesnelerin sırası ya da aldıkları görevler sonucu değiştiriyorsa sayılan şey bir permütasyondur. Bu alt başlıkta P(n, r) formülünü, formülün çarpma yönteminden nasıl çıktığını ve sıranın ne zaman önemli olduğunu ayırt etmeyi göreceksin.
Tanım ve formül
n farklı nesneden r tanesinin seçilip bir sıraya dizilmesine n'nin r'li permütasyonu denir ve P(n, r) ile gösterilir. Birinci yere n, ikinci yere n − 1, r. yere n − r + 1 nesne konabileceği için P(n, r) = n·(n − 1)·...·(n − r + 1) = n!/(n − r)! olur. P(6, 2) = 6·5 = 30 ve P(5, 5) = 5! = 120'dir. Özel olarak P(n, n) = n! ve P(n, 1) = n olur.
Sıra ne zaman önemlidir?
Seçilenler farklı görevlere atanıyorsa, bir sıraya diziliyorsa ya da bir sayının basamaklarına yerleşiyorsa sıra önemlidir. 8 kişilik bir kulüpten bir başkan ve bir sayman P(8, 2) = 56 biçimde seçilir; Ali başkan ve Ece sayman olduğunda ve Ece başkan ve Ali sayman olduğunda iki farklı seçim vardır. Aynı kulüpten görev farkı olmayan 2 kişilik bir temsilci grubu seçilirse sıra önemsizdir ve sayı yarıya iner: 28. Bu ayrım permütasyon ile kombinasyonu birbirinden ayırır.
Kısıtlı yerler
Bazı nesnelerin belirli yerlere gelmesi isteniyorsa önce kısıtlı yerler doldurulur, kalan nesneler kalan yerlere dizilir. 6 kişilik bir sırada Ayşe en başta olacaksa kalan 5 kişi 5! = 120 biçimde dizilir. Ayşe uçlardan birinde olacaksa 2·5! = 240 dizilim vardır.
Ayşe uçlarda olmayacaksa ya doğrudan sayılır, Ayşe için 4 iç yer olduğundan 4·5! = 480, ya da tümleyenden bulunur: 6! − 240 = 480. İki yolun aynı sonucu vermesi, hesabın doğru olduğunu kontrol etmenin iyi bir yoludur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir yarışmada 10 sporcu arasından birinci, ikinci ve üçüncü kaç farklı biçimde belirlenebilir?
Çözüm. Dereceler farklı olduğu için sıra önemlidir. Birinci 10, ikinci kalan 9, üçüncü kalan 8 sporcudan biri olabilir. Sonuç P(10, 3) = 10·9·8 = 720'dir.
Örnek 2. Aralarında Ali ile Veli'nin de bulunduğu 5 kişi bir sıraya diziliyor. Ali ile Veli'nin ikisi de uçlarda olacak biçimde kaç dizilim vardır?
Çözüm. Önce kısıtlı yerleri doldururuz: Ali ile Veli iki uca 2 biçimde yerleşir (Ali solda ya da sağda). Ortadaki 3 yere kalan 3 kişi 3! = 6 biçimde dizilir. Sonuç 2·6 = 12'dir.
Örnek 3. P(n, 2) = 42 olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm. P(n, 2) = n·(n − 1)'dir. Ardışık iki doğal sayının çarpımı 42 olmalıdır: 7·6 = 42. Buna göre n = 7 bulunur. n(n − 1) = 42 denklemi n² − n − 42 = 0, yani (n − 7)(n + 6) = 0 biçiminde de çözülür; n pozitif olduğundan n = 7'dir.
Sık yapılan hatalar
- Görevli seçimlerde kombinasyon kullanıp görev sırasını kaybetmek.
- P(n, r) hesaplarken r tane yerine daha fazla ya da daha az çarpan yazmak.
- Kısıtlı yeri sona bırakıp seçenek sayısını yanlış hesaplamak.
- P(n, r) = n!/(n − r)!; n'den başlayan r tane azalan çarpan.
- Görev, sıra ya da basamak varsa permütasyon kullanılır.
- Önce kısıtlı yerleri doldur, sonra kalanları diz.