Konu anlatımı
Nesneleri kutulara ya da kişilere dağıtma soruları, nesnelerin özdeş olup olmamasına göre farklı yollarla çözülür. Bu alt başlıkta özdeş nesneleri ayırıcılarla dizerek saymayı, alt ve üst sınır koşullarını ve farklı nesnelerin dağıtımını göreceksin.
Özdeş nesneler, farklı kutular
7 özdeş bilye 3 farklı kutuya dağıtılacaksa her dağılım, 7 bilye (B) ile kutuları ayıran 2 çubuğun (|) bir dizilişi olarak düşünülür: BB|BBBB|B dizilişi kutulara sırasıyla 2, 4 ve 1 bilye konduğunu gösterir. 9 nesnenin 7'si ve 2'si kendi aralarında özdeş olduğu için dağılım sayısı tekrarlı permütasyonla 9!/(7!·2!) = 36 bulunur. Genel olarak n özdeş nesne r farklı kutuya (n + r − 1)!/(n!·(r − 1)!) biçimde dağıtılır.
Alt ve üst sınırlar
Her kutuda en az bir nesne olması isteniyorsa önce her kutuya birer nesne konur, kalanlar serbestçe dağıtılır. 7 bilye 3 kutuya boş kutu kalmayacak biçimde dağıtılacaksa önce 3 bilye yerleştirilir; kalan 4 bilye 6!/(4!·2!) = 15 biçimde dağıtılır.
Bir kutuya en çok belirli sayıda nesne konabiliyorsa tümleyen kullanılır. 9 özdeş fidan 3 tarha, her tarha en az 1 ve en çok 4 fidan dikilecek biçimde dağıtılacak olsun. Yalnız en az 1 koşuluyla 8!/(6!·2!) = 28 dağılım vardır. Bir tarha 5 ya da daha fazla fidan düşen dağılımlar her tarh için 6 tanedir ve iki tarh aynı anda bu sınırı aşamaz. Sonuç 28 − 3·6 = 10'dur.
Farklı nesneler, farklı kişiler
Farklı nesnelerin her biri kişilerden birine verilecekse çarpma yöntemi kullanılır: 5 farklı kitap 3 kişiye 3⁵ = 243 biçimde dağıtılır. Her kişinin en az bir kitap alması isteniyorsa kitap sayılarının dağılımına göre durumlar ayrılır: (3, 1, 1) dağılımı 3·C(5, 3)·2 = 60, (2, 2, 1) dağılımı 3·C(5, 2)·C(3, 2) = 90 biçimde olur; toplam 150'dir.
Her kişiye eşit sayıda nesne verilecekse kişiler sırayla kendi paylarını seçer: 6 farklı görev 3 kişiye ikişer ikişer C(6, 2)·C(4, 2)·C(2, 2) = 15·6·1 = 90 biçimde dağıtılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 11 özdeş kalem K, L ve M kutularına her kutuda en az 2 kalem olacak biçimde kaç farklı biçimde konabilir?
Çözüm. Önce her kutuya 2 kalem koyarız; 6 kalem kullanılır ve 5 kalem kalır. Kalan 5 özdeş kalem 3 kutuya serbestçe dağıtılır: 5 kalem ve 2 ayırıcının dizilişleri 7!/(5!·2!) = 21'dir. Kutulara düşen kalem sayıları belirlendiğinde dağılım belirlenmiş olur.
Örnek 2. Birbirinden farklı 4 ödül Ali ile Banu arasında, her biri en az bir ödül alacak biçimde kaç farklı biçimde paylaştırılabilir?
Çözüm. Her ödül Ali'ye ya da Banu'ya verilebilir: 2⁴ = 16 paylaştırma. Bunlardan bütün ödüllerin Ali'ye ve bütün ödüllerin Banu'ya verildiği 2 durum koşulu bozar. İstenen sayı 16 − 2 = 14'tür.
Örnek 3. 7 özdeş şeker 3 çocuğa, hiçbir çocuğa 4'ten fazla şeker düşmeyecek biçimde kaç farklı biçimde dağıtılabilir? Şeker almayan çocuk olabilir.
Çözüm. Koşulsuz dağılımlar 7 şeker ve 2 ayırıcının dizilişleridir: 9!/(7!·2!) = 36. Bir çocuğa 5 ya da daha fazla şeker düşen dağılımlarda o çocuğa önce 5 şeker verilir, kalan 2 şeker 3 çocuğa 4!/(2!·2!) = 6 biçimde dağıtılır. Bu durum her çocuk için 6 kez oluşur ve iki çocuk aynı anda 5 şeker alamaz. Sonuç 36 − 18 = 18'dir.
Sık yapılan hatalar
- Özdeş nesneleri farklıymış gibi çarpma yöntemiyle saymak.
- “Boş kutu kalmasın” koşulunda önce her kutuya birer nesne koymayı unutmak.
- Üst sınırı aşan dağılımları çıkarırken iki kutunun aynı anda sınırı aşıp aşamayacağını kontrol etmemek.
- n özdeş nesne r kutuya: n nesne ile r − 1 ayırıcının dizilişi.
- En az k koşulunda önce her kutuya k nesne koy.
- Farklı nesneler farklı kişilere: her nesne için kişi sayısı kadar seçenek vardır.