Konu anlatımı
Dizilecek nesnelerin bazıları birbirinin aynısıysa onların yer değiştirmesi yeni bir diziliş oluşturmaz. Bu alt başlıkta özdeş nesnelerin dizilişlerini, sözcüklerin harfleriyle dizi oluşturmayı ve bir ızgarada en kısa yolları saymayı göreceksin.
Formül
n nesnenin n₁ tanesi bir türden, n₂ tanesi ikinci türden, n₃ tanesi üçüncü türden özdeşse ve n₁ + n₂ + n₃ = n ise farklı dizilişlerin sayısı n!/(n₁!·n₂!·n₃!) olur. Bütün nesneler farklıymış gibi n! dizilim sayılır; her özdeş grubun kendi içindeki yer değiştirmeleri aynı dizilişi verdiği için grupların faktöriyellerine bölünür. 3 kırmızı ve 2 mavi özdeş top bir sıraya 5!/(3!·2!) = 10 biçimde dizilir.
Harf dizileri
Bir sözcüğün harfleriyle anlamlı ya da anlamsız diziler oluşturulurken tekrar eden harfler özdeş nesnelerdir. KAYAK sözcüğünde 2 K, 2 A ve 1 Y vardır; 5!/(2!·2!) = 30 farklı dizi yazılır. Koşullu sorularda önce koşul uygulanır: K ile başlayan diziler için kalan K, A, A ve Y harfleri 4!/2! = 12 biçimde dizilir.
Özdeş harflerin yan yana gelmemesi isteniyorsa boşluk yöntemi kullanılır; ama boşluklara konan harfler özdeş olduğu için yalnızca boşluk seçilir. SALATA sözcüğünde A dışındaki S, L ve T harfleri 3! = 6 biçimde dizilir ve 4 boşluk oluşur. 3 özdeş A bu boşluklardan üçüne C(4, 3) = 4 biçimde yerleşir: 6·4 = 24 dizi.
Izgarada en kısa yollar
Eş karelerden oluşan bir ızgarada yalnızca sağa ve yukarı giderek A'dan B'ye gidilecekse her en kısa yol aynı sayıda sağ (S) ve yukarı (Y) adım içerir. 5 sağ ve 3 yukarı adım gerekiyorsa her yol 8 harfli bir S-Y dizisidir ve yol sayısı 8!/(5!·3!) = 56'dır.
Belirli bir C noktasından geçen yollar, A'dan C'ye ve C'den B'ye giden yolların sayıları çarpılarak bulunur. Kapalı bir sokak varsa o sokağı kullanan yollar aynı yolla sayılır ve tüm yollardan çıkarılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. MATEMATİK sözcüğünün harflerinin tamamı kullanılarak kaç farklı dizi yazılabilir?
Çözüm. Sözcükte 9 harf vardır: M, A ve T harflerinin her biri 2 kez, E, İ ve K harflerinin her biri 1 kez geçer. Dizi sayısı 9!/(2!·2!·2!) = 362 880/8 = 45 360'tır.
Örnek 2. Bir ızgarada A'dan B'ye 4 sağ ve 3 yukarı adımla gidiliyor. En kısa yollardan kaçı, A'dan 2 sağ ve 1 yukarı adım uzaklıktaki C noktasından geçer?
Çözüm. A'dan C'ye 2 sağ ve 1 yukarı adım vardır: 3!/(2!·1!) = 3 yol. C'den B'ye kalan 2 sağ ve 2 yukarı adım vardır: 4!/(2!·2!) = 6 yol. C'den geçen yollar 3·6 = 18'dir. Bütün yollar 7!/(4!·3!) = 35 olduğundan C'den geçmeyen 17 yol vardır.
Örnek 3. Özdeş 4 kırmızı, özdeş 2 beyaz ve 1 siyah boncuk düz bir sıraya kaç farklı biçimde dizilir? Siyah boncuk tam ortada olacaksa kaç biçimde dizilir?
Çözüm. 7 boncuğun dizilişleri 7!/(4!·2!) = 105'tir. Siyah boncuk 7 yerin ortasına, yani 4. yere sabitlenirse kalan 6 yere 4 kırmızı ve 2 beyaz boncuk 6!/(4!·2!) = 15 biçimde dizilir.
Sık yapılan hatalar
- Özdeş nesnelerin faktöriyellerine bölmeyi unutmak.
- Izgarada sağ ve yukarı adım sayılarını yanlış saymak; noktalar değil, kenarlar sayılır.
- Belirli bir noktadan geçen yolları bulurken iki parçanın yol sayılarını toplamak; bu sayılar çarpılır.
- Tekrarlı permütasyon: n!/(n₁!·n₂!·...).
- Izgara yolu: (sağ + yukarı)!/(sağ!·yukarı!).
- C'den geçen yollar = (A'dan C'ye yollar)·(C'den B'ye yollar).